Une relation d'équivalence pour anneaux ou structures algébriques qui affirme que deux anneaux sont équivalents au sens de Morita lorsque leurs catégories de modules (à droite ou à gauche) sont équivalentes comme catégories, de sorte qu'ils partagent le même comportement de représentation et les mêmes invariants liés aux modules.

Principe

Le principe organisateur est la représentation catégorique : ce qui compte est la catégorie des modules (ou des représentations) plutôt que les éléments de l'anneau ; l'équivalence des catégories de modules signale une structure module-théorique identique et des invariants dérivés partagés.

Démonstration

Les anneaux de matrices M_n(R) sont équivalents de Morita à R parce que les R-modules correspondent aux M_n(R)-modules via des constructions de changement d'anneau ; cela explique pourquoi de nombreuses propriétés, comme la projectivité ou les dimensions homologiques, se transfèrent à travers des équivalences de Morita.

Mauvaise application

Déclarer des anneaux ayant des spectres similaires ou des éléments en commun comme équivalents de Morita sans vérifier l'équivalence catégorique des catégories de modules : l'équivalence de Morita est plus forte et concerne les catégories de modules, pas de simples coïncidences arithmétiques de l'anneau.

Conséquence

Si deux anneaux sont équivalents de Morita, ils ont des catégories dérivées de modules équivalentes (sous hypothèses appropriées), des catégories de modules projectifs équivalentes à isomorphisme près, et partagent de nombreux invariants homologiques et propriétés de représentation.

Inversion

L'inverse est la non-équivalence : des anneaux non équivalents de Morita peuvent tout de même partager certains invariants mais ne produisent pas de catégories de modules équivalentes, de sorte que la théorie des représentations diffère de façon essentielle.

Limite

L'équivalence de Morita s'applique aux anneaux, algèbres et structures similaires disposant de catégories de modules bien définies ; elle exclut les invariants sensibles à la structure élémentaire non visible dans les catégories de modules et n'implique pas l'isomorphisme des anneaux.

Tension sémantique

L'équivalence de Morita est en tension avec l'isomorphisme et l'équivalence dérivée : l'isomorphisme est plus stricte, l'équivalence dérivée est plus faible ou différemment axée ; décider quelle notion capture le mieux la 'même théorie des représentations' crée une tension conceptuelle.

Synthèse

L'équivalence de Morita identifie des structures algébriques par l'équivalence de leurs catégories de modules : deux anneaux sont considérés identiques du point de vue représentationnel lorsque leurs catégories de modules sont équivalentes catégoriquement, faisant du comportement des modules le critère d'identité.