Une relation entre catégories C et D donnée par des foncteurs F : C → D et G : D → C munis d'isomorphismes naturels η : Id_C ⇒ G∘F et ε : F∘G ⇒ Id_D ; équivalemment F est essentiellement surjectif sur les objets et pleinement fidèle, de sorte que C et D partagent la même structure catégorique à isomorphisme cohérent près.

Principe

L'équivalence saisit la 'même' catégorie à un isomorphisme d'objets et de morphismes près : la pleine fidélité préserve exactement les ensembles de morphismes et l'essentielle surjectivité garantit que tout objet cible est isomorphe à un objet de l'image, produisant un comportement inverse à isomorphisme naturel près plutôt qu'à égalité stricte.

Démonstration

Vect_k^fd (espaces vectoriels de dimension finie sur un corps k) est équivalente à la catégorie Mat_k dont les objets sont les entiers naturels n et dont les morphismes n→m sont les matrices m×n sur k : en choisissant une base V ≅ k^n, le foncteur qui envoie k^n sur n et les applications linéaires sur leurs matrices est pleinement fidèle et essentiellement surjectif à isomorphisme de base près.

Mauvaise application

Considérer l'équivalence comme une égalité littérale de catégories (attendre des objets et Hom-ensembles identiques) ou supposer que toute paire de foncteurs adjoints donne une équivalence ; ne pas distinguer isomorphisme strict et équivalence à isomorphisme cohérent près est une erreur fréquente.

Conséquence

Lorsque les catégories sont équivalentes, toutes les propriétés catégoriques invariantes par équivalence (limites, colimites, représentabilité, monadicité, etc.) se transfèrent ; on peut effectuer calculs ou classifications dans la catégorie équivalente plus simple puis les traduire via l'équivalence.

Inversion

Un isomorphisme strict de catégories (un foncteur inversible dont l'inverse est égal sur le nez) est plus fort que l'équivalence ; inversement, affaiblir l'équivalence en simple adjointité ou similarité des classes d'objets supprime la cohérence et fait généralement perdre la transférabilité des invariants.

Limite

L'équivalence exige des isomorphismes naturels et donc des données de cohérence ; elle ne réclame pas l'égalité point par point des objets ou des ensembles sous-jacents. L'équivalence est une notion 2-catégorique — deux catégories peuvent être équivalentes sans être strictement isomorphes.

Tension sémantique

Souvent confondue avec l'isomorphisme de catégories ou avec l'existence d'une bijection d'objets ; l'équivalence est plus subtile : elle permet de renommer les objets à isomorphisme près et met l'accent sur la préservation de la structure catégorique plutôt que sur l'identité littérale.

Synthèse

Une équivalence de catégories est une paire de foncteurs fournissant un comportement inverse à isomorphisme naturel près, caractérisée par la pleine fidélité et l'essentielle surjectivité, déclarant deux catégories 'identiques' pour les fins catégoriques tout en permettant le renommage cohérent d'objets et de morphismes.