Un objet algébrique (anneau, module, etc.) est non-noethérien s'il ne vérifie pas la condition de chaîne ascendante (ACC) sur les sous-objets ou idéaux : il existe une suite strictement croissante infinie I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ··· qui ne se stabilise pas.

Principe

La noethérianité encapsule une finitude : dans de nombreux contextes commutatifs ACC équivaut à ce que tout idéal soit de type fini. L'échec de cette propriété autorise des constructions pathologiques infinies et empêche l'application de nombreux théorèmes de finitude standard (par ex. le théorème de la base de Hilbert peut échouer dans des polynômes en variables infinies).

Démonstration

L'anneau de polynômes k[x1,x2,...] en dénombrablement nombreuses variables est non-noethérien : la chaîne d'idéaux (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ (x1,x2,x3) ⊂ ··· ne se stabilise jamais. De même, une somme directe infinie de modules non nuls est en général non-noethérienne comme module.

Mauvaise application

Employer des résultats qui nécessitent l'hypothèse noethérienne (décomposition primaire, conclusions de génération finie, arguments de stabilisation ascendante) sur des objets non-noethériens, ou supposer que Noethérien et Artinien sont équivalents sans vérifier les hypothèses (ce n'est pas vrai en général).

Conséquence

Dans les contextes non-noethériens on ne peut pas compter sur la génération finie des idéaux, l'existence de décompositions primaires finies, ni la terminaison de nombreuses procédures algorithmiques ; le comportement catégorique et homologique peut être plus complexe et réclamer d'autres conditions de finitude (cohérence, ACC sur des classes particulières).

Inversion

Un objet noethérien satisfait ACC, toute suite ascendante se stabilise, et l'on retrouve de nombreux résultats de finitude (idéaux de type fini, terminaison des algorithmes en contexte algébrique).

Limite

Faire la distinction entre noethérien à gauche/droite pour les anneaux non commutatifs, noethérien comme module versus comme anneau, et les notions voisines plus faibles (cohérent, quasi-noethérien). Les analogues topologiques ou catégoriques (schémas noethériens) possèdent des définitions adaptées et des limites propres.

Tension sémantique

Non-noethérien vs infini : un objet peut être infini et pourtant noethérien (par ex. un corps comme anneau est noethérien), tandis que 'non-noethérien' signifie précisément l'échec de ACC ; tension aussi avec la cohérence (finitude plus faible) et avec la propriété artinienne (condition descendante).

Synthèse

Non-noethérien qualifie l'échec de la condition de chaîne ascendante — une absence structurelle de finitude qui autorise des familles strictement croissantes infinies de sous-objets et rend inapplicables de nombreux théorèmes et algorithmes fondés sur la finitude.