Une matrice (ou un endomorphisme linéaire) qui n'est pas inversible ; sur un corps cela équivaut à avoir un déterminant nul, un rang non maximal ou un noyau non trivial.

Principe

La singularité signale une perte de rang complet : colonnes (ou lignes) linéairement dépendantes, l'application linéaire n'est pas bijective et des invariants algébriques tels que le déterminant s'annulent, affectant la résolubilité des systèmes linéaires.

Démonstration

La matrice 2×2 [[1,2],[2,4]] est singulière car ses lignes sont linéairement dépendantes et det = 1·4 − 2·2 = 0 ; le système Ax = b avec une telle A peut ne pas avoir de solution unique, ou en avoir une infinité si b appartient à l'espace colonne.

Mauvaise application

Confondre mal-condition numérique (une matrice presque singulière avec déterminant très petit en arithmétique flottante) et singularité algébrique conduit à des erreurs ; supposer également que singularité implique nilpotence ou échec de diagonalisation est incorrect.

Conséquence

Une matrice singulière n'est pas inversible, donc les systèmes linéaires peuvent manquer de solution unique ; parmi les conséquences spectrales figure zéro comme valeur propre, et les constructions algébriques nécessitant des inverses doivent être adaptées ou remplacées par des pseudo-inverses.

Inversion

L'opposé est une matrice non singulière (inversible) : rang complet, déterminant non nul sur un corps et application linéaire bijective. On peut éliminer la singularité en restreignant à des sous-espaces invariants ou par perturbation en contexte analytique.

Limite

Sur les corps les équivalences (déterminant nul ↔ non inversible ↔ perte de rang) tiennent ; sur des anneaux commutatifs généraux avec diviseurs de zéro le déterminant peut s'annuler sans que l'inversibilité se comporte comme sur les corps, et il faut considérer des inverses à gauche/droite en anneaux non commutatifs.

Tension sémantique

Singulier entre en tension avec « forme dégénérée » et avec la notion analytique de « mal conditionné » — la singularité algébrique est une affirmation exacte sur l'inversibilité tandis que le mal conditionnement est numérique et dépend du contexte ; précisez le sens.

Synthèse

Une matrice singulière est une défaillance algébrique d'inversibilité se manifestant par un déterminant nul, un défaut de rang et un noyau non trivial ; reconnaître la singularité conditionne la résolubilité, les propriétés spectrales et la nécessité d'outils de remplacement comme les pseudo-inverses ou la restriction à l'image.