Un élément d'un monoïde multiplicatif doté d'une unité qui ne possède pas d'inverse multiplicatif ; en d'autres termes, un élément d'un anneau unital qui n'est pas une unité.

Principe

Les unités forment le groupe des éléments inversibles ; les non-unité en sont le complément et signalent l'échec de la résolubilité par multiplication. Le statut d'une non-unité contrôle la génération d'idéaux et le comportement lors de la localisation.

Démonstration

Dans l'anneau des entiers Z, 2 et 3 sont des non-unités car seules ±1 sont inversibles ; dans Z/6Z la classe 2 est une non-unité, tandis que 5 est une unité car 5·5 ≡ 1 (mod 6).

Mauvaise application

Confondre non-unité et diviseur de zéro ou supposer que toute non-unité est diviseur de zéro ; par exemple, dans les domaines intègres toute non-unité non nulle n'est pas un diviseur de zéro, donc les deux notions sont distinctes.

Conséquence

Identifier les non-unités est essentiel en théorie de la factorisation, pour décider quels éléments génèrent des idéaux propres et pour choisir des ensembles multiplicatifs en localisation ; les non-unités empêchent les annulations basées sur l'inversibilité.

Inversion

La classe opposée est celle des unités : éléments possédant un inverse multiplicatif formant un groupe. Transformer une non-unité en unité requiert d'adjoindre des inverses (localisation) ou d'élargir l'anneau ambiant.

Limite

La notion présuppose une identité multiplicative ; dans les anneaux non unitaires (rngs) le terme est inapplicable ou doit être adapté. Sur des anneaux à diviseurs de zéro, l'inversibilité peut être subtile (inverses à sens unique), vérifiez donc la sidedness et la commutativité ambiante.

Tension sémantique

Non-unité se situe près de « diviseur de zéro », « transformation linéaire non inversible » (vue matricielle) et « élément non nul » — il faut distinguer l'absence d'inversibilité de l'annihilation et de l'absence de magnitude dans d'autres contextes.

Synthèse

Une non-unité est simplement un élément multiplicatif dépourvu d'inverse ; repérer les non-unités clarifie quelles manipulations algébriques (annulations, divisions, localisations) sont légitimes dans le cadre algébrique donné.