Algorithmes et techniques pour calculer le radical sqrt(I) d'un idéal I, c'est-à-dire l'ensemble {f | f^n ∈ I pour un certain n}, qui identifie l'idéal des fonctions s'annulant sur la même variété et donc la composante géométrique réduite sous-jacente.

Principe

Calculer la fermeture par racines : utiliser des bases de Gröbner, la décomposition primaire, la saturation ou des algorithmes spécialisés (par exemple l'astuce de Rabinowitsch, tests d'appartenance) pour détecter si un polynôme est nilpotent modulo I et appartient donc au radical.

Démonstration

Pour I = (x^2, xy) dans k[x,y], on remarque que x^2 ∈ I et xy ∈ I, donc tout f dont une puissance est divisible par x appartient au radical ; explicitement sqrt(I) = (x). On peut vérifier ceci via un calcul de base de Gröbner ou en localisant aux idéaux premiers et en testant l'appartenance.

Mauvaise application

Supposer que le calcul du radical coûte autant que le test d'appartenance à un idéal est trompeur : calculer des radicaux peut nécessiter une décomposition primaire coûteuse ; employer des heuristiques naïves sans certification peut donner des radicaux erronés en présence de composantes incorporées ou en caractéristique positive.

Conséquence

Connaître sqrt(I) donne la structure réduite du schéma et son support ensembliste, simplifie de nombreuses questions géométriques et constitue une étape préalable avant le calcul des composantes primaires ou des multiplicités.

Inversion

Se concentrer uniquement sur les radicaux supprime la multiplicité faisceautique et la structure nilpotente ; inversement, tenter de déduire la structure entière du schéma à partir des radicaux est impossible car les radicaux ignorent les données incorporées et nilpotentes.

Limite

Des algorithmes effectifs existent pour les algèbres de type fini sur un corps, surtout en caractéristique zéro ou en petite caractéristique avec précautions ; en caractéristique grande, sur des anneaux de coefficients infinis ou dans des anneaux non noethériens le problème peut être plus difficile ou indécidable.

Tension sémantique

Le calcul du radical est souvent opposé à la décomposition primaire : le radical donne une information ensembliste moins coûteuse, tandis que la décomposition primaire offre des données faisceautiques plus fines au prix d'un coût de calcul supérieur.

Synthèse

Le calcul du radical identifie le support réduit d'un idéal en trouvant tous les éléments dont une puissance appartient à l'idéal ; les méthodes vont des tests d'appartenance via Gröbner à la saturation et à la décomposition primaire, échangeant coût de calcul et finesse structurelle.