Expression d'un idéal I dans un anneau noethérien (souvent un anneau de polynômes) comme intersection finie I = Q1 ∩ … ∩ Qr d'idéaux primaires Qi, chacun ayant pour radical un idéal premier Pi ; cette décomposition met à part les composantes primaires correspondant aux composantes géométriques distinctes de V(I).

Principe

Dans un cadre noethérien tout idéal admet une décomposition irréductible en composantes primaires indexée par les idéaux premiers associés ; les premiers isolés donnent des composantes primaires dont le radical est égal au premier, tandis que les premiers incorporés (embedded) correspondent à des composantes contenues dans d'autres.

Démonstration

Dans k[x,y], pour I = (x^2, xy) on a une décomposition I = (x) ∩ (x^2,y). Ici (x) est premier (donc primaire) de radical (x), tandis que (x^2,y) est primaire de radical (x,y), reflétant une composante incorporée à l'origine et la composante unidimensionnelle x=0.

Mauvaise application

Considérer toute intersection d'idéaux primaires comme la décomposition primaire de I sans vérifier la minimalité et les idéaux premiers associés conduit à des erreurs ; confondre décomposition primaire et décomposition radicale (I = ⋂ sqrt(Qi)) néglige les multiplicités et la structure incorporée.

Conséquence

La décomposition primaire révèle les morceaux géométriques isolés et incorporés de Spec(R/I), clarifie les multiplicités et le comportement local, et oriente les calculs de radicaux, localisations et décompositions faisceautiques.

Inversion

Si l'on inverse l'objectif — ne rechercher que les composantes radicales (les premiers) et éliminer la structure primaire — on perd l'information sur les nilpotents et les multiplicités ; inversement, exiger l'unicité des facteurs primaires est vain car les composantes primaires ne sont uniques qu'au niveau des radicaux.

Limite

Valable dans les anneaux noethériens (anneaux de polynômes sur un corps, anneaux locaux noethériens). Dans les anneaux non noethériens la décomposition primaire peut ne pas exister ni être finie ; l'unicité ne tient que jusqu'aux radicaux et inclusions, pas aux idéaux primaires eux-mêmes.

Tension sémantique

La décomposition primaire se confronte conceptuellement à la décomposition en idéaux premiers du radical : la décomposition radicale capture le support ensembliste (les premiers), tandis que la décomposition primaire affine cette description en codant les multiplicités et la structure incorporée du schéma.

Synthèse

La décomposition primaire scinde un idéal en morceaux primaires dont les radicaux sont premiers, séparant les composantes géométriques et codant les multiplicités incorporées ; c'est un outil noethérien qui complète les techniques de radical et de localisation pour l'étude fine locale et globale.