Identité pour un crochet bilinéaire [·,·] sur une structure algébrique énonçant que [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0 pour tous x,y,z, traduisant la symétrie cyclique requise pour les structures de type Lie.

Principe

Imposer l'annulation cyclique des crochets imbriqués de sorte que l'action adjointe de tout élément soit une dérivation et que les constantes de structure satisfassent des contraintes de compatibilité antisymétriques.

Démonstration

Pour le crochet commutateur sur les matrices carrées [A,B]=AB−BA, un calcul direct montre [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0, donc l'espace des matrices avec ce crochet est une algèbre de Lie.

Mauvaise application

S'attendre à ce que l'identité de Jacobi tienne pour un produit bilinéaire antisymétrique quelconque ; beaucoup de tels produits échouent la Jacobi et ne définissent pas d'algèbres de Lie, de sorte qu'appliquer des résultats de la théorie de Lie est incorrect.

Conséquence

Lorsqu'elle est satisfaite avec la bilinéarité et l'antisymétrie, la Jacobi définit une structure de algèbre de Lie, permettant la théorie des représentations, la cohomologie des crochets et des conditions d'intégrabilité pour les flux associés.

Inversion

Abandonner Jacobi conduit à des structures plus larges non-Lie comme les algèbres de Malcev ou quasi-Lie où d'autres identités remplacent l'annulation cyclique et où la théorie des représentations diffère.

Limite

S'applique uniquement à des crochets binaires bilinéaires sur un module ou un espace vectoriel ; elle n'implique pas l'associativité du produit et se distingue des identités d'alternativité ou de flexibilité en contextes non associatifs.

Tension sémantique

Se confronte aux identités basées sur l'associateur : Jacobi régule les crochets imbriqués tandis que l'associativité et l'alternativité contrôlent les produits triples ; une algèbre peut satisfaire l'une sans satisfaire l'autre.

Synthèse

L'identité de Jacobi est la contrainte cyclique sur les crochets imbriqués qui, conjointement avec la bilinéarité et l'antisymétrie, caractérise les algèbres de Lie et gouverne l'action des éléments par dérivations et les relations entre constantes de structure.