Critère pour un semi-groupe ou un domaine cancellatif selon lequel, pour toute paire d'éléments non nuls a,b, il existe des éléments non nuls s,t tels que as=bt (Ore à droite) ou sa=tb (Ore à gauche), permettant de construire une localisation ou un anneau de fractions en contexte non commutatif.

Principe

Exiger l'existence de multiples non nuls communs à droite ou à gauche de sorte que l'on puisse éliminer les dénominateurs et que les fractions se comportent de manière cohérente ; ceci remplace la commutativité pour former un anneau de fractions classique.

Démonstration

Dans tout domaine intégral commutatif D, pour a,b≠0 on peut prendre s=b et t=a, d'où as=b a=a b=b t, donc le domaine satisfait les conditions d'Ore à gauche et à droite et se localise en son corps de fractions.

Mauvaise application

Supposer que tout domaine cancellatif non commutatif satisfait la condition d'Ore et tenter de construire un anneau de fractions bilatéral sans vérifier l'existence de multiples communs ; cela peut produire des fractions inexistantes ou non uniques.

Conséquence

Quand la condition d'Ore est satisfaite pour un côté choisi et un ensemble de dénominateurs approprié, on peut construire une localisation classique qui plonge le domaine initial dans un anneau de fractions (et, sous conditions supplémentaires, dans un corps de fractions non commutatif).

Inversion

Si la condition d'Ore échoue, il peut ne pas exister de dénominateurs communs pour des paires d'éléments, ce qui empêche une localisation classique bien définie et fait échouer la représentation par fractions.

Limite

S'applique aux semi-groupes cancellatifs ou aux domaines (non commutatifs) et distingue Ore à droite et Ore à gauche ; elle suppose des éléments non nuls et exclut en général les ensembles ayant des diviseurs de zéro ou l'échec de la cancellativité.

Tension sémantique

Se distingue de la localisation par un ensemble multiplicatif en commutatif où la fermeture multiplicative suffit ; en non commutatif la condition d'Ore est plus forte et n'est pas automatique.

Synthèse

La condition d'Ore formalise l'exigence minimale de multiples communs en algèbre non commutative qui permet d'éliminer les dénominateurs et de construire un anneau de fractions significatif, avec versions droite et gauche et limites claires en cas d'échec.