Un invariant scalaire polynomial associé à une matrice carrée ou un endomorphisme, qui indique si l'application linéaire est inversible et comment elle met à l'échelle les volumes orientés.

Principe

Le déterminant est la fonction multilinéaire alternée unique des colonnes (ou des lignes) normalisée par la valeur 1 sur l'identité ; il vérifie det(AB)=det(A)det(B) et change de signe lors de l'échange de deux lignes (ou colonnes).

Démonstration

Pour une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] le déterminant vaut ad−bc ; géométriquement, la valeur absolue du déterminant d'une matrice 2×2 ou 3×3 est l'aire ou le volume de l'image du carré/unité ou du cube/unité par l'application linéaire.

Mauvaise application

Utiliser le déterminant comme mesure de norme d'opérateur ou interpréter un déterminant petit mais non nul comme garantie de stabilité numérique sans tenir compte du conditionnement ; appliquer des formules de déterminant à des matrices non carrées comme s'il s'agissait d'un déterminant ordinaire plutôt que d'un pseudo-déterminant.

Conséquence

Si det(A)≠0 alors A est inversible ; les déterminants se multiplient pour les compositions et enregistrent la mise à l'échelle multiplicative des volumes et l'inversion éventuelle d'orientation ; det(I)=1 normalise la notion.

Inversion

Inverser le concept : det(A)=0 implique que A est singulière et écrase certains vecteurs non nuls en zéro, réduisant la dimension de l'image ; changer le signe du déterminant correspond à une inversion d'orientation de l'image.

Limite

Défini proprement pour les matrices carrées et les endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie ; sur des anneaux commutatifs généraux il faut être prudent (les diviseurs de zéro gênent l'inversibilité) ; pas directement défini pour les opérateurs non carrés — on utilise des pseudo-déterminants ou le déterminant de Fredholm en dimension infinie.

Tension sémantique

Le déterminant versus le permanent et versus les valeurs singulières : le déterminant est multiplicatif et sensible au signe (orientation) et reflète l'inversibilité algébrique, tandis que le permanent n'a pas de signe et les valeurs singulières mesurent la mise à l'échelle métrique (orthogonale).

Synthèse

Le déterminant est l'invariant scalaire canonique d'une transformation linéaire carrée qui consigne de façon multiplicative la mise à l'échelle des volumes et de l'orientation, et dont l'annulation est précisément l'obstruction algébrique à l'inversibilité.