Pour un endomorphisme linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie (ou un opérateur de classe trace en contextes analytiques), la trace est le scalaire obtenu comme somme des coefficients diagonaux de toute matrice représentant l'endomorphisme dans une base ; elle est invariante par similitude et égale à la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité algébrique.

Principe

La trace est une forme linéaire tr : End(V) → k vérifiant la propriété cyclique tr(AB) = tr(BA), indépendante de la base, et fournissant un accouplement non dégénéré entre endomorphismes et formes en dimensions finies ; elle se comporte fonctoriellement par sommes directes et produits tensoriels suivant des règles standards.

Démonstration

Pour la matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] la trace est a + d ; la trace de l'identité sur un espace de dimension n vaut n ; les matrices nilpotentes ont trace nulle, et la trace d'une projection égale le rang de la projection lorsque celle-ci est diagonalisable avec valeurs propres 0 et 1.

Mauvaise application

Supposer que trace nulle implique nilpotence (faux en général), traiter la somme des éléments diagonaux sans tenir compte de l'indépendance par rapport à la base, ou appliquer des identités de trace finie-dimensionnelles à des opérateurs qui ne sont pas de classe trace dans des espaces de Hilbert de dimension infinie.

Conséquence

La trace fournit les caractères des représentations, des invariants linéaires permettant de distinguer des classes de conjugaison, et des coefficients des polynômes caractéristiques (la trace égale le coefficient du degré n−1 à un signe près) ; étendue analytiquement elle intervient aussi dans des théorèmes d'indice et des invariants géométriques.

Inversion

Le déterminant est la notion duale multiplicative : alors que la trace additionne les valeurs propres, le déterminant les multiplie ; mettre l'accent sur le déterminant met en avant la dilatation de volume et des invariants multiplicatifs plutôt que des résumés additifs.

Limite

La trace standard est définie pour les endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie et pour les opérateurs de classe trace en analyse ; sur des anneaux non commutatifs ou pour des opérateurs linéaires de rang infini la somme diagonale naïve peut ne pas exister ou être invariante, les extensions nécessitent donc de la prudence (trace de Hattori–Stallings, trace de von Neumann, etc.).

Tension sémantique

La trace se heurte à des concepts proches : trace de matrice (élémentaire), trace catégorique (dualité abstraite) et traces d'opérateurs (régularité analytique) ; il faut préciser si le contexte est algébrique, catégorique ou analytique pour éviter de confondre définitions et conditions d'existence.

Synthèse

La trace extrait l'invariant additif canonique d'un endomorphisme — la somme des valeurs propres ou des coefficients diagonaux invariante par similitude — fournissant une application linéaire d'endomorphismes vers les scalaires qui sous-tend caractères, coefficients polynomiaux et nombreuses formules d'indice.