Une construction qui forme un nouvel objet à partir d'une famille d'objets en prenant des tuples et en autorisant typiquement seulement un nombre fini de composantes non nulles (dans le cas algébrique usuel de somme directe finie), avec opérations composantes et injections de chaque composante.

Principe

Définie comme coproduit dans de nombreuses catégories algébriques pour des familles finies : un objet ⊕_i A_i muni d'injections A_j → ⊕_i A_i telles que les applications sortant de la somme sont déterminées de façon unique en spécifiant les applications sur chaque composante et en les combinant par composantes.

Démonstration

Pour des espaces vectoriels V et W, la somme directe V ⊕ W est l'ensemble des paires (v,w) avec addition et multiplication scalaire par composante et injections v↦(v,0), w↦(0,w). Pour une famille indexée de modules où seules finiment d'indices sont non nuls, les éléments sont des tuples à support fini.

Mauvaise application

Employer la notation de somme directe finie pour des familles infinies sans préciser s'il s'agit de la somme directe (coproduit) ou du produit direct complet ; supposer que la somme directe préserve des produits infinis ou des suites exactes sans vérifier les hypothèses entraîne des erreurs.

Conséquence

Permet d'assembler des objets à support disjoint et d'exprimer des décompositions et inclusions canoniques. En algèbre linéaire, les dimensions s'additionnent : dim(V⊕W)=dim V + dim W pour les espaces de dimension finie ; en algèbre homologique, elle fournit des décompositions en blocs et des scissions contrôlées.

Inversion

La notion duale est le produit direct (produit infini) ou le produit dans la catégorie : tandis que la somme directe recueille des tuples à support fini et est un coproduit, le produit admet des tuples arbitraires et des projections. Inverser la propriété universelle échange injections et projections.

Limite

Généralement utilisée pour des familles finies dans des contextes algébriques ; pour des familles infinies il faut distinguer la somme directe (support fini, coproduit) du produit direct (tous les tuples, produit). Toutes les catégories ne possèdent pas des coproduits ou des sommes avec la même description composante par composante.

Tension sémantique

On la confond souvent avec le produit direct et avec la décomposition directe interne (scindement). La tension vient du fait que pour des ensembles finis la somme et le produit coïncident pour les modules, mais divergent pour des index infinis et dans des catégories sans sommes finies.

Synthèse

La somme directe est la construction de type coproduit qui assemble des objets en tuples à opérations par composantes tout en imposant un support fini, fournissant des injections canoniques et permettant des décompositions où les dimensions s'additionnent.