Un anneau avec unité dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif, mais la multiplication n'est pas nécessairement commutative ; on parle aussi de corps gauchisé (skew field).

Principe

L'idée centrale est l'inversibilité universelle des éléments non nuls tout en autorisant la non commutativité, de sorte que l'ensemble des éléments non nuls forme un groupe (éventuellement non abélien) pour la multiplication et que le centre est un corps.

Démonstration

Les quaternions d'Hamilton H constituent un exemple classique : tout quaternion non nul est inversible mais la multiplication n'est pas commutative ; l'inverse s'obtient par conjugaison normalisée par la norme.

Mauvaise application

Traiter un anneau de division comme un corps en supposant la commutativité ; cela conduit à des conclusions erronées sur le comportement des polynômes ou la centralité des coefficients lorsqu'on travaille sur une base diagonale.

Conséquence

Les modules sur un anneau de division se comportent comme des espaces vectoriels (à gauche ou à droite) et admettent une dimension bien définie ; la classification des applications linéaires et des représentations matricielles exige de la prudence quant au côté d'action.

Inversion

Exiger la commutativité donne un corps ; autoriser des diviseurs de zéro ou abandonner l'existence d'inverses conduit à des anneaux généraux au comportement modulaire et homologique très différent.

Limite

Doit posséder des inverses multiplicatifs pour les éléments non nuls et une unité ; sont exclus les anneaux avec diviseurs de zéro ou sans propriété d'inversibilité globale. Distinguer la notion gauche/droite si l'asymétrie apparaît.

Tension sémantique

Tension entre le terme 'anneau de division' et 'skew field', et entre anneaux de division non commutatifs et corps commutatifs ; les anneaux de division finis sont nécessairement des corps (fait global pour les cas finis).

Synthèse

Un anneau de division généralise le corps en conservant l'inversibilité universelle des éléments non nuls tout en permettant la non commutativité ; il permet une algèbre linéaire où l'on tient compte de la structure de module à gauche/droite et d'un sous-corps central.