Un anneau (groupe additif abélien muni d'une multiplication) dont l'opération de multiplication est commutative ; de nombreux auteurs supposent en outre l'existence d'un élément unité multiplicatif (1 ≠ 0).

Principe

La règle organisatrice est ab = ba pour tous les éléments a et b, de sorte que les idéaux, les anneaux quotient et les constructions polynomiales se comportent de manière cohérente lorsque la multiplication ne dépend pas de l'ordre.

Démonstration

Les entiers Z avec l'addition et la multiplication usuelles forment un anneau commutatif avec unité ; les anneaux de polynômes R[x] sur un anneau commutatif R sont commutatifs, et des calculs explicites comme (x+1)(x-1)=x^2-1 illustrent l'indépendance à l'ordre.

Mauvaise application

Considérer tout anneau commutatif comme un anneau intègre ou un corps ; par exemple, supposer que la loi de simplification tient dans Z/6Z ignore les diviseurs de zéro 2·3 = 0.

Conséquence

La commutativité permet le développement de la théorie des idéaux, du spectre des idéaux premiers et de nombreux outils de géométrie algébrique et de théorie des nombres qui reposent sur la symétrie de la multiplication.

Inversion

Un anneau non commutatif (par exemple l'anneau des matrices n×n pour n≥2) inverse l'exigence : la multiplication ne peut pas être permutée sans modifier les produits et de nombreuses techniques commutatives échouent.

Limite

La portée inclut les anneaux avec ou sans unité selon la convention ; sont exclus les anneaux dont la multiplication n'est pas commutative ou dont la structure additive n'est pas abélienne.

Tension sémantique

Tension entre les définitions qui exigent une unité et celles qui ne l'exigent pas, et entre le terme générique « anneau » (pouvant être non commutatif) et l'adjectif « commutatif » qui impose la symétrie de la multiplication.

Synthèse

Un anneau commutatif est une structure algébrique où l'addition est abélienne et la multiplication symétrique, fournissant le contexte de base pour les idéaux, la factorisation et les constructions géométriques tout en admettant des diviseurs de zéro et diverses spécialisations.