Un ensemble muni d'une unique opération binaire qui est associative, possède un élément neutre et pour laquelle chaque élément admet un inverse à deux côtés.

Principe

Un groupe organise les éléments par clôture sous une loi binaire assortie d'associativité, d'un neutre et d'inversibilité bilatérale, ce qui permet de résoudre des équations et de décrire des symétries réversibles.

Démonstration

Les entiers Z munis de l'addition forment un groupe : l'addition est associative, 0 est l'élément neutre et chaque entier n a pour inverse −n ; ainsi l'équation a+x=b se résout par x=b−a.

Mauvaise application

Qualifier de groupe une structure dont certains éléments n'ont pas d'inverses (par exemple les entiers naturels pour l'addition) ou dont l'opération n'est pas associative ; cette erreur masque l'absence d'annulation et d'inversions.

Conséquence

Pour un groupe, toute équation a·x=b admet une solution unique x=a^{-1}·b, les lois d'annulation sont valables, et on dispose d'une théorie riche de sous-groupes, de quotients, d'homomorphismes et d'actions de groupe.

Inversion

En retirant l'inversibilité on obtient un monoïde (il y a identite mais pas forcément d'inverses) ; sans neutre on a un semi-groupe ; en changeant l'associativité on rencontre des structures non associatives comme les boucles ou quasigroupes.

Limite

S'applique uniquement aux ensembles avec une opération binaire associative et des inverses bilatéraux pour chaque élément ; exclut les structures à plusieurs opérations où les axiomes de groupe ne valent que partiellement, les magma non associatifs et les opérations partielles.

Tension sémantique

Groupe vs Groupe abélien : un groupe peut être non commutatif ; groupe vs monoïde : le groupe exige des inverses ; groupe vs groupoïde : un groupe a un domaine de composition global tandis qu'un groupoïde admet plusieurs objets et une composition partielle.

Synthèse

Un groupe est la structure algébrique où une loi associative, un élément neutre et l'inversibilité universelle se combinent pour rendre résolubles les équations binaires et formaliser les symétries et transformations réversibles.