Marco que clasifica y caracteriza las geometrías por sus grupos de simetría: una geometría se define como el estudio de las propiedades invariantes bajo un grupo elegido de transformaciones que actúa sobre un espacio, de modo que distintas elecciones de grupos producen geometrías distintas.

Principio

Sustituir una noción a priori de espacio por el par (espacio, grupo de transformaciones); los invariantes del grupo determinan los objetos y relaciones geométricas significativas, por lo que la geometría se reduce a teoría de grupos y teoría de invariantes.

Demostración

La geometría euclidiana surge del grupo de isometrías de R^n (preservando distancias); la geometría proyectiva proviene del grupo lineal proyectivo actuando sobre espacio proyectivo; la geometría conforme concierne al grupo que preserva ángulos. Comparar grupos explica qué nociones (distancia, ángulo, incidencia) se conservan.

Aplicación incorrecta

Tratar el programa de Erlangen como si impusiera información métrica cuando el grupo de simetría elegido no la determina, o confundir la topología global con la clasificación por simetría local, son usos indebidos; asimismo, asumir que todos los problemas geométricos se reducen puramente a invariantes de grupo ignora datos analíticos o locales de curvatura.

Consecuencia

Proporciona un lenguaje unificador para comparar geometrías, derivar construcciones invariantes y clasificar geometrías homogéneas por estructuras de subgrupos; orienta la construcción de modelos en geometría y la búsqueda de cantidades invariantes.

Inversión

Una inversión enfatiza los invariantes diferenciales locales (programa de Riemann): en vez de partir de un grupo de transformaciones global, se centra en tensores métricos locales e invariantes de curvatura que pueden no ser capturados por un solo grupo de simetría global.

Límite

Se aplica principalmente a geometrías homogéneas o basadas en una acción de grupo distinguida; es menos prescriptivo para problemas donde la estructura analítica local, las singularidades o los invariantes combinatorios/topológicos dominan.

Tensión semántica

Tensión entre la visión global centrada en la simetría de Klein y la perspectiva local métrica/de curvatura de Riemann; algunas estructuras se entienden mejor como invariantes de grupo, otras requieren análisis local diferenciable.

Síntesis

El Programa de Erlangen organiza la geometría por la simetría: elige un grupo de transformaciones que actúe sobre un espacio y estudia las estructuras invariantes bajo él, clasificando así tipos de geometría según sus simetrías admisibles y las nociones invariantes que permanecen.