Definición
Un subconjunto E de un espacio métrico (X,d) es poroso si existe una constante c ∈ (0,1) tal que para todo punto x ∈ E y para todo radio suficientemente pequeño r > 0 existe un punto y con la bola abierta B(y, c r) contenida en B(x, r) \ E; intuitivamente E tiene agujeros de radio relativo al menos c en todas las escalas pequeñas alrededor de cada punto.
Principio
Principio
La porosidad formaliza la idea de agujeros relativos uniformes a escalas arbitrariamente pequeñas: la existencia de bolas complementarias de radio proporcional al radio de observación es la regla cuantitativa organizadora.
Demostración
Demostración
El conjunto de Cantor del tercio medio en R es poroso: dentro de cualquier pequeño intervalo centrado en un punto del conjunto de Cantor se puede encontrar un subintervalo cuya longitud es proporcional a la longitud del entorno y que está en el complemento. En R^n muchas polvos fractales y conjuntos delgados son porosos, mientras que las variedades suaves no lo son.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Equiparar porosidad con medida nula o con ser de interior vacío sin matices; la porosidad implica propiedades fuertes de pequeñez (a menudo medida nula y primera categoría) pero no todo conjunto de medida nula es poroso, y la porosidad es una condición geométrica estrictamente más fuerte.
Consecuencia
Consecuencia
Los conjuntos porosos son cuantitativamente escasos: la porosidad suele implicar cotas superiores para dimensiones de Hausdorff o Assouad, da estimaciones fuertes para la removibilidad en teoría del potencial no lineal y excluye ciertas propiedades de densidad o grosor usadas en análisis y dinámica.
Inversión
Inversión
El concepto inverso es un conjunto no poroso o uniformemente no poroso, que no admite bolas complementarias relativamente grandes a escalas arbitrariamente pequeñas; dichos conjuntos pueden ser uniformemente gruesos, tener densidad positiva o ser Ahlfors‑regulares en ciertos intervalos de escala.
Límite
Límite
La porosidad requiere un entorno métrico (bolas, radios) y la especificación de qué escalas son 'suficientemente pequeñas'; las variantes (porosidad superior, porosidad inferior, σ‑porosidad) cambian cuantificadores y alcance, por lo que hay que precisar constantes y rangos de escala.
Tensión semántica
Tensión semántica
La porosidad se sitúa entre la pequeñez topológica (interior vacío) y nociones de medida/dimensión: es más fuerte que la no densidad pero distinta de las nociones puramente medidas o dimensionales, generando tensión al comparar conceptos de 'finitud' del conjunto.
Síntesis
Síntesis
Un conjunto poroso es un subconjunto de un espacio métrico que contiene, de forma uniforme a pequeñas escalas, agujeros relativamente grandes en su complemento; la porosidad es una condición geométrica cuantitativa de pequeñez distinta y más fuerte que la simple finura topológica o métrica.