Una función de altura cuadrática canónica (o emparejamiento de alturas) sobre los puntos racionales de una variedad abeliana sobre un campo global, construida para ser cuadrática bajo la multiplicación por n y para eliminar términos de error acotados de las alturas ingenuas, proporcionando un emparejamiento regulador bilineal en grupos de Mordell–Weil.

Principio

Normalizar una altura geométrica (de Weil) usando el pullback por las aplicaciones de multiplicación de modo que la altura canónica resultante sea una forma cuadrática que satisface Ĥ([n]P)=n^2 Ĥ(P); esta estabilidad produce functorialidad, se descompone en contribuciones locales y se relaciona con la teoría de intersección en modelos enteros.

Demostración

En una curva elíptica sobre un cuerpo de números, la altura de Néron–Tate de un punto racional se calcula como el límite de alturas ingenuas escaladas bajo iterados de multiplicación; el regulador formado por el emparejamiento de alturas sobre una base del grupo de Mordell–Weil aparece en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer y controla los cálculos de rango.

Aplicación incorrecta

Usar la altura logarítmica ingenua en lugar de la canónica cuando la cuadraticidad es esencial (por ejemplo para definir un regulador), o no elegir un fibrado en líneas ample simétrico para que la normalización canónica falle, produce emparejamientos e inferencias de rango incorrectas.

Consecuencia

La altura de Néron–Tate da una forma cuadrática semidefinida positiva cuyo núcleo es el subgrupo de torsión, proporciona un regulador canónico que mide la complejidad aritmética de los puntos racionales y permite argumentos analíticos y de descenso sensibles al rango y a la distribución de puntos.

Inversión

Usar funciones de altura locales crudas o alturas ingenuas sin la normalización canónica produce funciones que son solo cuasi-cuadráticas (con error acotado) y no suministran el emparejamiento regulador bilineal exacto ni la relación clara con números de intersección.

Límite

Definida para variedades abelianas sobre cuerpos globales con la elección de un fibrado en líneas ample simétrico; es canónica solo hasta funciones acotadas respecto a distintos modelos y no se aplica literalmente a puntos algebraicos sobre bases no globales sin adaptar la construcción.

Tensión semántica

Frecuentemente se contrasta con alturas ingenuas (de Weil) y con descomposiciones en alturas locales: las alturas ingenuas son más fáciles de calcular pero carecen de exactitud cuadrática, mientras que las alturas canónicas son adecuadas para invariantes aritméticos pero requieren límites y elecciones de fibrados.

Síntesis

La altura de Néron–Tate es el refinamiento cuadrático canónico de las alturas ingenuas en variedades abelianas: al imponer la cuadraticidad bajo multiplicación y descomponerse en alturas locales produce el regulador, distingue la torsión y cuantifica el tamaño aritmético de forma functorial y mediante teoría de intersección.