Una torre de campos de números obtenida al tomar iterativamente el campo de clase de Hilbert (la extensión abeliana máxima no ramificada) del nivel anterior que nunca se estabiliza — es decir, la secuencia de campos de clase es infinita y los números de clase no se reducen uniformemente a uno, lo que indica fracaso de la terminación de la torre.

Principio

Iterar la formación de extensiones abelianas no ramificadas: empezar con un campo de números, pasar a su campo de clase de Hilbert y repetir; una torre infinita surge cuando este proceso produce infinitas capas distintas, reflejando grupos de clases persistentes en cada etapa.

Demostración

Partir de un campo base con grupo de clases suficientemente grande; calcular su campo de clase de Hilbert para obtener un nuevo campo cuyo grupo de clases puede volver a ser no trivial, y continuar; construcciones explícitas o criterios (por ejemplo, desigualdades tipo Golod–Shafarevich) producen familias donde existen infinitos campos de clase sucesivos.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo campo de números admite una torre de campos de clase finita y usarlo para deducir acotamiento universal de números de clase; por el contrario, interpretar una estabilización en niveles bajos como prueba de terminación eventual sin verificar obstrucciones aritméticas más profundas es incorrecto.

Consecuencia

La existencia de una torre infinita de campos de clase exhibe un profundo fallo en la terminación de la torre y supone crecimiento no acotado de extensiones abelianas no ramificadas; influye en la comprensión de los grupos de clases, la estructura de Galois de la extensión maximal no ramificada y heurísticas sobre discriminantes.

Inversión

Una torre de campos de clase finita (estabilización tras un número finito de pasos) es el fenómeno opuesto: finalmente el campo de clase de Hilbert es trivial y no existen más extensiones abelianas no ramificadas no triviales, indicando la parada del crecimiento de los grupos de clases.

Límite

Fenómeno sobre extensiones abelianas no ramificadas de campos de números; no se ocupa de extensiones ramificadas ni de extensiones no abelianas no ramificadas salvo que se precise, y su detección suele requerir herramientas cohomológicas o análisis de grupos pro‑p más que simples comprobaciones de números de clase.

Tensión semántica

Existe tensión entre heurísticas que predicen finitud genérica de torres de campos de clase y ejemplos explícitos o criterios que muestran infinitud; conceptos cercanos incluyen el crecimiento de p‑grupos de clases o extensiones no abelianas no ramificadas, relacionados pero no idénticos.

Síntesis

Una torre infinita de campos de clase es la situación aritmética en la que el paso repetido al campo de clase de Hilbert nunca termina: iterar la formación de campos de clase, observar grupos de clases no triviales en cada nivel y así obtener una cadena ascendente infinita de extensiones abelianas no ramificadas.