Para enteros a y b (no ambos cero), el máximo común divisor gcd(a,b) es el mayor entero positivo que divide a ambos sin resto.

Principio

Entre los divisores comunes de dos enteros elegir el mayor según el orden usual en los enteros positivos; el mcd es único y puede caracterizarse mediante la identidad de Bézout como la menor combinación lineal positiva de los enteros.

Demostración

gcd(48,18)=6 porque 6 divide tanto 48 como 18, y ninguna otra entidad mayor lo hace; además 6 = 48·(−1) + 18·3 verifica la relación de Bézout.

Aplicación incorrecta

Confundir mcd con mcm, o usar algoritmos de mcd incorrectamente asumiendo que se necesita factorización en primos para su cálculo; tratar gcd(0,0) como bien definido sin aclarar la convención.

Consecuencia

El uso correcto del mcd facilita la reducción de fracciones, el cálculo de soluciones enteras de ecuaciones diofánticas lineales y la comprensión de inversos modulares (existencia cuando mcd=1).

Inversión

La noción complementaria es el mínimo común múltiplo: mientras el mcd se ocupa de los factores comunes máximos, el mcm invierte el enfoque hacia los múltiplos comunes mínimos.

Límite

Definido para enteros (incluidos los negativos por valor absoluto) y habitualmente para pares o tuplas finitas; gcd(0,0) es convencionalmente indefinido o puede tomarse como 0 según contexto y debe tratarse explícitamente. Se aplica en dominios de ideales principales pero no directamente en anillos arbitrarios sin modificación.

Tensión semántica

Tensión con el concepto de 'coprimo': mcd(a,b)=1 es una propiedad más que una magnitud; también se relaciona con coeficientes de Bézout que no son únicos aunque el mcd lo sea salvo signo.

Síntesis

El máximo común divisor de a y b es el mayor entero positivo que divide a ambos; es único y fundamental para la divisibilidad, la reducción de fracciones y la resolución de ecuaciones diofánticas lineales.