El proceso de determinar si un entero n es B‑suave, es decir, si todos sus factores primos son ≤ B, típicamente intentando la factorización hasta la cota B o aplicando pruebas especializadas de suavidad.

Principio

Usar división por ensayo por todos los primos ≤ B como primer paso, combinada con cribado y técnicas de factorización parciales (Pollard’s rho, p−1, ECM) para detectar cofactores grandes restantes; certificar la suavidad solo cuando la factorización completa tiene todos los primos ≤ B.

Demostración

Ejemplo: n = 360 = 2^3·3^2·5 es 5‑suave porque su mayor factor primo es 5; en cambio 1001 = 7·11·13 no es 5‑suave ya que contiene primos >5.

Aplicación incorrecta

Confundir tener muchos factores pequeños con ser B‑suave, o detener la división por ensayo prematuramente y declarar suavidad cuando queda un factor primo grande oculto; también usar heurísticas probabilísticas como prueba sin verificación.

Consecuencia

La detección de suavidad es crucial para estrategias de factorización (ECM, criba cuadrática), ataques criptanalíticos que explotan órdenes suaves y para análisis de complejidad donde entradas suaves permiten algoritmos más rápidos.

Inversión

El problema opuesto es la detección de aspereza: probar la existencia de un factor primo mayor que B puede ser más rápido en algunos casos (encontrar un único primo grande) y es la afirmación negativa a la prueba de suavidad.

Límite

Se aplica a enteros positivos y a una cota explícita B≥2; requiere factorización completa hasta B para certificar suavidad; excluye estructuras multiplicativas en anillos donde la primalidad difiere (p. ej. dominios no únicos) salvo interpretación adecuada de primos.

Tensión semántica

Tensión entre el cribado heurístico práctico (pruebas probabilísticas rápidas o cribado parcial) y la certificación rigurosa (factorización completa), y entre la abundancia de pequeños factores y el único factor grande que rompe la suavidad.

Síntesis

La prueba de suavidad es la tarea procedimental de verificar que cada divisor primo de un entero está por debajo de un umbral B dado, lograda mediante una sucesión de división por ensayo, cribado y métodos de factorización dirigidos, y actuando como predicado clave en algoritmos de teoría de números y criptanálisis.