Un conjunto de algoritmos para recuperar un número racional p/q a partir de su imagen módulo un entero N o de un residuo modular aproximado, bajo cotas sobre numerador y denominador, normalmente usando fracciones continuas o el algoritmo euclidiano extendido.

Principio

Interpretar el residuo r ≡ p·q^{-1} (mod N) como una aproximación racional r/N y calcular convergentes por fracciones continuas o usar gcd extendido para encontrar enteros pequeños (p,q) con |p|≤P, 0

Demostración

Ejemplo concreto: N=97 y r ≡ 57 se supone corresponde a p/q con q≤12. La inversa modular de 12 es 89, 5·89≡57 (mod 97), por tanto r=57 se reconstruye como 5/12 mediante fracción continua/gcd extendido bajo la cota q≤12.

Aplicación incorrecta

Intentar la reconstrucción sin cotas válidas (denominador demasiado grande) o a partir de residuos con módulo N insuficiente, lo que puede producir candidatos racionales erróneos o múltiples soluciones espurias.

Consecuencia

Permite recuperar coeficientes racionales exactos de cálculos modulares, realizar reconstrucción modular en álgebra computacional e interpolación racional, y evitar aritmética de enteros grandes hasta la posprocesación.

Inversión

La proyección directa (reducir p/q módulo N para obtener r) es sencilla; la reconstrucción la invierte pero requiere restricciones de tamaño — invertir sin cotas genera ambigüedad en lugar de recuperación única.

Límite

Requiere cotas explícitas para numerador y denominador y un N elegido lo bastante grande para evitar colisiones; aplica a racionales de tamaño moderado y a módulos enteros; no se aplica a irracionales ni a racionales con denominador arbitrariamente grande respecto a N.

Tensión semántica

Tensión entre las clases de equivalencia módulo N (muchos racionales pueden dar el mismo residuo) y la unicidad alcanzada solo bajo cotas de tamaño; también tensión entre aproximación por fracciones continuas y métodos basados en redes/gcd extendido.

Síntesis

La reconstrucción racional une aritmética modular y aproximación diofántica: dado un residuo y cotas de tamaño, fracciones continuas o gcd extendido producen el racional pequeño único cuya imagen modular coincide con el residuo.