Una función aritmética es una aplicación f desde los enteros positivos N hacia los números complejos C (o a otro anillo) que asigna invariantes numéricos a los enteros y codifica datos aritméticos sobre su factorización o divisores.

Principio

Estudiar los enteros asignándoles valores algebraicos o analíticos y emplear operaciones como la convolución de Dirichlet, la suma y las transformadas generadoras (series de Dirichlet) para revelar propiedades de distribución globales.

Demostración

La función de Möbius μ(n) es una función aritmética con μ(1)=1, μ(n)=(-1)^k si n es producto de k primos distintos, y μ(n)=0 si n tiene un factor primo al cuadrado; capta la estructura sin cuadrados y permite invertir la convolución de Dirichlet con la función constante 1.

Aplicación incorrecta

Tratar una función aritmética como si estuviera definida sobre los reales con propiedades de continuidad, o asumir multiplicatividad sin comprobar condiciones como la coprimalidad, conduce a conclusiones erróneas.

Consecuencia

Las funciones aritméticas pueden convolucionarse, promediarse y transformarse en series de Dirichlet; su comportamiento analítico y algebraico ofrece información sobre sumas de divisores, distribución de primos y fórmulas de inversión.

Inversión

Una función definida sobre todos los enteros, racionales o reales que no esté especificada en los enteros positivos o que no interactúe con la convolución de Dirichlet no desempeña el papel aritmético específico de una función aritmética.

Límite

El dominio son los enteros positivos; el codominio suele ser C o un anillo conmutativo. Excluye funciones definidas principalmente sobre clases de residuos, sobre el continuo real, o aquellas que no aparecen en contextos multiplicativos o de convolución salvo extensión explícita.

Tensión semántica

Se solapa con 'función multiplicativa' (una subclase con restricciones multiplicativas) y con la terminología de funciones generadoras; hay que distinguir entre funciones aritméticas generales y subclases especializadas.

Síntesis

Una función aritmética es una regla que asigna valores algebraicos o complejos a los enteros positivos y que constituye el dato básico para la estructura multiplicativa, las operaciones de convolución y las transformadas analíticas en teoría de números.