El problema de optimización de hallar un punto en el plano que minimice la suma de distancias euclidianas a los tres vértices de un triángulo dado; el punto minimizador se denomina punto de Fermat (o de Torricelli) y presenta ángulos incidentes de 120° cuando todos los ángulos del triángulo son menores de 120°.

Principio

Un principio variacional geométrico: la configuración minimizadora iguala las tensiones angulares de modo que los tres segmentos desde el punto de Fermat se encuentran por pares a 120°, salvo cuando un vértice obtuso domina, en cuyo caso el minimizador es ese vértice obtuso.

Demostración

En un triángulo equilátero el punto de Fermat coincide con el centróide y cada segmento de conexión forma 120°; en un triángulo con un ángulo de 130° el punto minimizador es el vértice con 130° porque cualquier punto interior incrementa la distancia total.

Aplicación incorrecta

Suponer que el punto de Fermat es siempre interior o siempre caracterizado por ángulos de 120°; ignorar el caso especial en que un ángulo del triángulo es ≥ 120° y el minimizador es ese vértice conduce a soluciones incorrectas.

Consecuencia

Resuelve un problema básico de optimización de redes y modela redes de conexión mínimas; deriva construcciones para árboles de Steiner y proporciona soluciones exactas para problemas de minimización de longitud con tres terminales.

Inversión

Visto a la inversa, localizar el punto que maximiza la suma de distancias da soluciones límite triviales (puntos alejados), lo que ilustra que la minimización exige equilibrio angular interior mientras que la maximización es no acotada en el plano.

Límite

Formulado para tres puntos en el plano euclidiano; generalizaciones a más puntos (problema de Weber) o a métricas distintas requieren comportamientos distintos de existencia/unicidad y pueden carecer de la caracterización por 120°.

Tensión semántica

Compite con centros como el circuncentro, incentro o centróide que optimizan otras funciones objetivo (maximizar distancia mínima, igualar distancias, minimizar momentos); el punto de Fermat es distinto porque minimiza la suma total de distancias, no un radio ni un momento.

Síntesis

El problema de Fermat–Torricelli identifica un punto que equilibra tres demandas de distancia en competencia: o bien un vértice con ángulo ≥ 120° es óptimo, o bien existe un punto interior de Fermat que iguala los ángulos a 120° y proporciona el minimizador único de la distancia total para los tres vértices.