Singularidad de tipo puntual en la frontera que se sitúa en la punta de un cono, donde la geometría local se modela por el producto de una variable radial y un enlace compacto (la sección transversal del cono), y donde las soluciones muestran asíntotas dictadas por el problema espectral en ese enlace.

Principio

La separación local en comportamiento radial y modos angulares (del enlace) induce desarrollos en r^{λ} (posiblemente con factores logarítmicos); los exponentes λ aceptables son raíces de una ecuación característica procedente del operador transversal en el enlace, de modo que la regularidad es de origen espectral.

Demostración

Para la ecuación de Laplace en un sector planar o sobre un cono n‑dimensional: cerca de la punta, las funciones armónicas se descomponen en r^{λ} por funciones propias del enlace circular o esférico; valores λ no enteros producen regularidad de Sobolev fraccionaria y, para ciertos λ, singularidades no integrables en el vértice.

Aplicación incorrecta

Suponer regularidad Hölder o Sobolev estándar en la punta cónica y desconocer el espectro del enlace al construir un paramétrix; o tratar puntas cónicas como puntos de frontera suaves en discretizaciones numéricas sin graduación de malla hacia la punta.

Consecuencia

Implica el uso de métodos de transformada de Mellin, espacios de Kondrat'ev ponderados y el emparejamiento explícito de términos asintóticos; afecta a los resultados de existencia/unicidad y exige modificación de la frontera o condiciones de compatibilidad para la correcta planteación en espacios estándares.

Inversión

Suavizar la punta hasta un entorno C^∞ o imponer condiciones en la frontera que eliminen los autovalores transversales problemáticos hace desaparecer la singularidad cónica y restaura las expansiones locales clásicas.

Límite

Es relevante cuando el dominio o variedad tiene un punto cónico aislado (variedad con singularidad cónica aislada) o cuando los coeficientes crean un cono efectivo; no describe singularidades extendidas de aristas ni singularidades producidas por coeficientes rugosos alejados de una punta geométrica.

Tensión semántica

Se suele confundir con singularidades en esquinas o aristas; la tensión está en que los conos son lugares singulares de dimensión cero cuya teoría espectral la aporta el enlace, mientras que esquinas o aristas implican diferentes codimensiones y acoplamientos direccionales.

Síntesis

La singularidad cónica es la falla puntual de la regularidad clásica en la punta de un cono: el comportamiento asintótico lo dictan los autovalores de la sección transversal, por lo que son necesarias técnicas de Mellin y espacios ponderados para describir con precisión las soluciones.