Un teorema de la teoría de la medida que afirma que si (f_n) es una sucesión creciente de funciones mensurables no negativas que converge puntualmente a f, entonces las integrales ∫ f_n convergen a ∫ f (posiblemente infinito), es decir lim_{n→∞} ∫ f_n = ∫ lim_{n→∞} f_n.

Principio

La monotonía junto con la no negatividad permite pasar el límite dentro de la integral porque las integrales forman una sucesión creciente acotada por arriba por la integral del límite puntual (o divergen conjuntamente).

Demostración

Tomar f_n = min(f,n) para una función mensurable no negativa f; (f_n) aumenta hasta f y por el teorema ∫ f_n ↗ ∫ f. O considerar f_n = 1_{[0,1-1/n]} en R: f_n ↑ 1_{[0,1)} y ∫ f_n → 1 = ∫ 1_{[0,1)}.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a sucesiones que no son monótonas crecientes o no son no negativas (por ejemplo, una sucesión alternante) lleva a conclusiones falsas; la monotonía y la no negatividad son hipótesis esenciales.

Consecuencia

Este teorema es una piedra angular para intercambiar límites e integrales en muchos argumentos de existencia y aproximación; implica el lema de Fatou y respalda las aproximaciones por funciones simples usadas para definir la integral de Lebesgue.

Inversión

El teorema de convergencia dominada proporciona una herramienta alternativa: si las funciones están dominadas por una función integrable (en lugar de ser monótonas), también se puede intercambiar límite e integral, pero las hipótesis y el ámbito de aplicación difieren.

Límite

Requiere funciones mensurables, monotonía creciente punto por punto casi en todas partes y no negatividad. No se aplica a sucesiones decrecientes (salvo con hipótesis adicionales de integrabilidad) ni a sucesiones de funciones signadas sin descomposición.

Tensión semántica

Existe tensión con la convergencia dominada cuando la monotonía falla pero sí existe dominación; cada teorema ofrece compensaciones entre hipótesis verificables y aplicabilidad.

Síntesis

El teorema de convergencia monótona ofrece una regla sólida para preservar el límite en aproximaciones crecientes no negativas: los aproximantes mensurables crecientes convergen en integral hacia la integral de su límite puntual, constituyendo una herramienta fundamental en la teoría de la integral de Lebesgue.