Una métrica en la familia de subconjuntos no vacíos y acotados de un espacio métrico definida como el máximo de los dos supremos dirigidos de distancias desde puntos de un conjunto al otro (equivalente al ínfimo r tal que cada conjunto está contenido en la vecindad r del otro).

Principio

La distancia de Hausdorff organiza la cercanía de conjuntos por la brecha peor-caso al punto más cercano: mide cuánto hay que desplazarse desde un punto de cualquiera de los conjuntos para alcanzar el otro, simetrizando proximidades dirigidas en una métrica genuina sobre conjuntos cerrados y acotados.

Demostración

En R con la métrica euclidiana, la distancia de Hausdorff entre [0,1] y [0.1,1.1] es 0.1 porque cada punto de un intervalo está a menos de 0.1 de algún punto del otro; pequeñas perturbaciones uniformes de un compacto producen pequeñas distancias de Hausdorff.

Aplicación incorrecta

Usar la distancia de Hausdorff para conjuntos no acotados sin modificación (donde puede ser infinita) o esperar que refleje similitud medida-teórica (dos conjuntos pueden tener pequeña diferencia simétrica en medida pero gran distancia de Hausdorff) son usos indebidos comunes.

Consecuencia

En el espacio de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico compacto, la distancia de Hausdorff define una métrica completa y convierte el hiperespace en compacto; se utiliza ampliamente en análisis de formas, aproximación geométrica y convergencia de conjuntos.

Inversión

Sustituir la distancia de Hausdorff por la medida de la diferencia simétrica o por distancias L^p de conjuntos invierte el énfasis desde la separación geométrica puntual máxima hacia discrepancias promediadas o volumétricas; la inversión conviene para comparaciones probabilísticas o medidas pero pierde control geométrico worst-case.

Límite

Definida para subconjuntos no vacíos y acotados de un espacio métrico; a menudo se restringe a conjuntos cerrados o compactos para evitar patologías y asegurar finitud y propiedades métricas; depende de la métrica ambiente y no es intrínseca a los conjuntos si la geometría ambiente no está fijada.

Tensión semántica

La distancia de Hausdorff compite con la distancia de Gromov–Hausdorff y con distancias entre conjuntos basadas en medida: la primera compara espacios métricos hasta isometría, la segunda promedia discrepancias, por lo que la elección depende de si se desea alineamiento geométrico puntual o similitud volumétrica a gran escala.

Síntesis

La distancia de Hausdorff es la brecha máxima al punto más cercano entre dos subconjuntos acotados: una medida simétrica, dependiente de la métrica ambiente, de la cercanía de conjuntos que captura la desviación geométrica worst-case, sustenta resultados de compacidad para hiperespace y contrasta con discrepancias promediadas.