Para una sucesión (a_n), el límite inferior, lim inf a_n, es lim_{n→∞} (inf_{k≥n} a_k). Equivale al menor límite subsecuencial y describe el comportamiento de acumulación mínimo cuando el índice tiende a infinito.

Principio

Infimum de las colas: a cada cola se le toma el ínfimo de los términos posteriores y luego el límite de esos ínfimos. Así se capturan valores inferiores de acumulación persistentes pese a la oscilación.

Demostración

Sea b_n = 1 para n par y b_n = −1+1/n para n impar. Entonces inf_{k≥n} b_k tiende a −1 cuando n→∞, por lo que lim inf b_n = −1, reflejando la subsecuencia que acumula en −1.

Aplicación incorrecta

Confundir lim inf con el ínfimo puntual sobre todos los índices o asumir que lim inf es el límite sin comprobar lim sup; confundir mínimos a corto plazo con comportamiento asintótico.

Consecuencia

Identifica los menores límites subsecuenciales, es esencial para pruebas de convergencia (sucesión converge ⇔ lim inf = lim sup) y acota el comportamiento mínimo eventual en estimaciones probabilísticas y analíticas.

Inversión

El límite superior es la noción dual que captura la acumulación máxima; al intercambiar inf y sup en las colas se transforma lim inf en lim sup.

Límite

Definido para sucesiones en la recta real extendida y para redes; para funciones, nociones análogas de lim inf requieren indexación explícita. No mide directamente mínimos locales transitorios.

Tensión semántica

Compite con mínimos instantáneos y con el ínfimo global: lim inf es asintótico y basado en colas, mientras que el ínfimo global ignora la progresión de índices. Una indexación clara evita malinterpretaciones.

Síntesis

El límite inferior es la envolvente inferior asintótica de una sucesión: tomar ínfimos de las colas para captar los menores puntos de acumulación y luego su límite para describir el comportamiento mínimo a largo plazo.