Para una sucesión (a_n) de números reales ampliados, el límite superior, denotado lim sup a_n, es lim_{n→∞} (sup_{k≥n} a_k). Equivale al mayor límite subsecuencial y describe el comportamiento de acumulación más alto de la sucesión cuando el índice tiende a infinito.

Principio

Supremum de las colas: para cada cola se toma el supremo de los términos posteriores y luego el límite de esos supremos. Esto captura valores superiores de acumulación persistentes aun cuando la sucesión oscile.

Demostración

Sea a_n = 0 si n es par y a_n = 1−1/n si n es impar. Entonces sup_{k≥n} a_k tiende a 1 cuando n→∞, por lo que lim sup a_n = 1, reflejando la subsecuencia de índices impares que acumula en 1.

Aplicación incorrecta

Confundir lim sup con el supremo puntual sobre todos los índices (que ignora la estructura de las colas), o usar lim sup como si fuera el límite sin verificar la igualdad con lim inf; interpretar oscilaciones como convergencia.

Consecuencia

Caracteriza los mayores límites subsecuenciales y se usa para probar convergencia: una sucesión converge si y solo si lim sup = lim inf. También acota lim sup de sumas/productos bajo condiciones adecuadas.

Inversión

El límite inferior capta la noción dual de los menores valores de acumulación; al reemplazar sup por inf en las colas se obtiene lim inf y se destaca el menor límite subsecuencial.

Límite

Definido para sucesiones en la recta real extendida y para redes en topologías más generales; no da información sobre acotamiento sin estimaciones adicionales. Para funciones o series, nociones análogas de lim sup requieren una indexación o especificación del dominio.

Tensión semántica

Tensión con el límite ordinario y con el supremo global: lim sup es una noción asintótica basada en colas, mientras que un supremo global ignora el crecimiento de índices; los términos a veces se confunden en la práctica.

Síntesis

El límite superior es la envolvente superior asintótica de una sucesión: calcular los supremos de las colas para captar el mayor punto de acumulación y luego tomar su límite para describir el comportamiento máximo a largo plazo.