El espacio vectorial de clases de equivalencia de funciones medibles en un espacio medible dado cuya potencia p es integrable, identificadas salvo en conjuntos de medida cero y provistas de la norma p ||f||_p = (∫ |f|^p)^{1/p} para 1 ≤ p < ∞ y de la norma del supremo esencial para p = ∞.

Principio

La integrabilidad medida por la medida controla el tamaño y la convergencia: la pertenencia se decide por la integrabilidad de la p-ésima potencia de un representante y las funciones iguales casi en todas partes representan el mismo elemento; la norma p organiza la topología y la geometría.

Demostración

En la recta real con medida de Lebesgue, Lp(R) son las funciones medibles f con ∫_R |f(x)|^p dx < ∞. Para p = 2 este espacio es un espacio de Hilbert con producto interior ⟨f,g⟩ = ∫ f ḡ.

Aplicación incorrecta

Tratar los valores puntuales de un representante como canónicos o suponer que operaciones puntuales (por ejemplo multiplicación punto por punto) siempre dan como resultado una función del mismo Lp sin comprobar integrabilidad o igualdad casi en todas partes.

Consecuencia

Aplicados correctamente, los espacios Lp proporcionan herramientas de análisis funcional: completitud (espacios de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞), desigualdades de Hölder y Minkowski, relaciones de dualidad entre exponentes conjugados y nociones claras de convergencia en norma y en medida.

Inversión

Invertir la noción considerando clases de funciones definidas por regularidad puntual en lugar de integrabilidad (por ejemplo funciones continuas o acotadas): se pierde la identificación por igualdad casi en todas partes y la topología determinada por la integrabilidad.

Límite

Definido relativamente a un espacio medible; las funciones no medibles quedan excluidas; la pertenencia depende de p y de la medida; propiedades como reflexividad o separabilidad dependen de p y del espacio subyacente.

Tensión semántica

Existe tensión entre ver los elementos como clases de equivalencia (objetos funcional-analíticos abstractos) y como representantes concretos, y entre diferentes valores de p que cambian la geometría y la dualidad.

Síntesis

Los espacios Lp son espacios de Banach de funciones medibles modulo conjuntos de medida cero, cuyo tamaño y comportamiento de convergencia viene regulado por una norma p; esta mezcla de teoría de la medida y topología normativa es esencial en análisis.