Una afirmación heurística y con frecuencia formal en contextos aritméticos y algebraicos que dice que una propiedad global de un objeto (sobre un cuerpo o anillo global) se verifica precisamente cuando la propiedad correspondiente se verifica en cada completado o localización local pertinente; en términos concretos, la solucionabilidad global, la clase de isomorfismo o la anulación cohomológica global es equivalente a la colección de sus contrapartes locales que cumplen la misma condición.

Principio

Reducir preguntas globales a comprobaciones en todas las plazas o localizaciones locales pertinentes; la idea organizadora es que las obstrucciones globales se detectan como fallos en uno o varios lugares locales o como una condición adélica coherente entre lugares.

Demostración

El principio de Hasse–Minkowski para formas cuadráticas sobre Q: una forma cuadrática sobre Q representa cero no trivialmente sobre Q si y solo si lo hace sobre R y sobre cada completado p-ádico Q_p; la existencia global de una solución racional está determinada por la familia de soluciones locales.

Aplicación incorrecta

Suponer que la solvencia local en cada completado implica automáticamente una solución global sin tener en cuenta obstrucciones globales o condiciones de compatibilidad (por ejemplo, ignorar elementos no triviales del grupo de Tate–Shafarevich o restricciones de recíproca adélica).

Consecuencia

Cuando el principio se aplica, es posible verificar propiedades globales mediante cálculos locales (a menudo finitos) o comprobando un conjunto especificado de completados; también permite coser datos locales para construir objetos globales cuando existe compatibilidad.

Inversión

El fracaso del principio se manifiesta en datos válidos localmente que no se pueden pegar para formar ningún objeto global: soluciones locales en todas partes pero ninguna solución global (contradicciones al principio de Hasse).

Límite

Se aplica en entornos con una noción bien definida de localización o completado (cuerpos de números, cuerpos de funciones, anillos locales, adeles); no vale automáticamente para problemas globales arbitrarios (topológicos o combinatorios) y puede fallar si faltan hipótesis de finitud cohomológica o recíproca global.

Tensión semántica

Compite con nociones de descenso y patching: a diferencia del descenso categórico (que usa datos de pegado y cohomología Čech), el principio local–global afirma la equivalencia de enunciados de existencia entre localizaciones en lugar de la construcción explícita de los mapas de pegado.

Síntesis

El principio local–global organiza la idea de que una propiedad aritmética o algebraica global se identifica con una familia coherente de propiedades locales; sirve tanto de herramienta práctica de reducción como de diagnóstico de obstrucciones globales.