Una correspondencia biyectiva y que invierte el orden entre los cuerpos intermedios de una extensión galoisiana finita y los subgrupos de su grupo de Galois, realizada asignando a un subgrupo su cuerpo de puntos fijos y a un cuerpo intermedio el subgrupo de automorfismos que lo fijan.

Principio

La regla organizadora es cuerpo fijo ↔ subgrupo: las subextensiones se corresponden con subgrupos mediante la toma de puntos fijos, y las subextensiones normales corresponden a subgrupos normales, produciendo una anti-isomorfía de retículos en el caso galoisiano (finito, separable, normal).

Demostración

Ejemplo: para una extensión galoisiana finita K/F, si H ≤ Gal(K/F) entonces el cuerpo fijo K^H es una extensión intermedia; recíprocamente, cada cuerpo intermedio E tiene a Gal(K/E) como subgrupo correspondiente. Concretamente, en extensiones cuadráticas se obtiene una coincidencia uno a uno entre cuerpos intermedios y subgrupos de orden dos.

Aplicación incorrecta

Aplicar la correspondencia biyectiva completa a extensiones no galoisianas o pasar por alto las hipótesis de separabilidad/normalidad; intentar emparejar subgrupos con cuerpos intermedios para una extensión algebraica cualquiera sin considerar cierres conduce a errores.

Consecuencia

Una aplicación correcta convierte problemas de teoría de cuerpos en problemas de teoría de grupos y viceversa: el cálculo de subextensiones, comprobaciones de normalidad y preguntas de resolubilidad se reducen al análisis de subgrupos del grupo de Galois.

Inversión

En la situación inversa (extensión no galoisiana) no existe una biyección limpia: los cuerpos intermedios y los subgrupos pueden no corresponder, y las estructuras de retículos pueden diferir notablemente; se trabaja entonces con operaciones de cierre o con el grupo de Galois del cierre normal.

Límite

Válida para extensiones galoisianas finitas (equivalente a finitas, separables, normales). Existen generalizaciones (teoría galoisiana infinita con grupos profinitos, tratamiento de extensiones inseparables con precaución), pero la biyección simple no se aplica a extensiones arbitrarias.

Tensión semántica

Este concepto está cercano a la noción más general de conexión de Galois en teoría del orden; la tensión reside entre la correspondencia galoisiana algebraica y biyectiva y las conexiones de Galois abstractas que en otros contextos pueden no ser biyectivas.

Síntesis

La correspondencia de Galois identifica una anti-isomorfía precisa entre el retículo de cuerpos intermedios de una extensión galoisiana y el retículo de subgrupos de su grupo de Galois, permitiendo traducir cuestiones estructurales sobre extensiones en términos de teoría de grupos y viceversa.