Un invariante, clase de cohomología o condición que mide el fallo para producir un levantamiento de una estructura, elemento o morfismo dados a lo largo de una sobreyección o proyección especificada; se anula exactamente cuando existe un levantamiento global compatible con los datos prescritos.

Principio

Los levantamientos existen exactamente cuando la clase de obstrucción asociada al problema de levantamiento es cero; las clases de obstrucción se calculan a partir de la discrepancia entre los levantamientos locales o parciales y las condiciones de coherencia necesarias para pegarlos en un levantamiento global y suelen vivir en un grupo de cohomología o un grupo de funciones derivadas asociado al núcleo de la proyección.

Demostración

Dada una sobreyección p: G' -> G y un homomorfismo f: H -> G, la obstrucción para encontrar f˜: H -> G' con p ∘ f˜ = f es un elemento de un grupo de cohomología o de extensiones que registra el fracaso de los levantamientos locales para coincidir; en topología, levantar un mapa de espacios a través de una cobertura o una fibración produce clases de obstrucción clásicas (por ejemplo en grupos de homotopía o de cohomología).

Aplicación incorrecta

Tratar la existencia de levantamientos locales o formales como suficiente para un levantamiento global sin comprobar la clase de obstrucción; o suponer que la clase de obstrucción calculada con un sistema de coeficientes se aplica sin cambio a un núcleo o base diferente, ignorando los efectos del cambio de coeficientes.

Consecuencia

Cuando la obstrucción al levantamiento se anula, el levantamiento deseado existe (a menudo no de forma única); calcular la obstrucción organiza las preguntas de existencia en invariantes algebraicos, permitiendo clasificar los levantamientos posibles y reducir la existencia a la nulidad de una clase.

Inversión

La visión inversa pregunta cuándo una estructura dada desciende a lo largo de una sobreyección: en lugar de obstruir levantamientos hacia arriba desde un recubrimiento, se estudian las obstrucciones a la descendencia hacia abajo desde un objeto recubriente — la nulidad de las obstrucciones de descenso corresponde a una descendencia efectiva y su no nulidad la impide.

Límite

Se aplica a problemas algebraicos, homotópicos y topológicos de levantamiento donde se especifica una proyección o sobreyección y un mapa objetivo; no resuelve por sí mismo cuestiones de unicidad más allá de la existencia y suele excluir problemas que carecen de un núcleo u objeto de coeficientes claro o aquellos que requieren condiciones analíticas de convergencia.

Tensión semántica

Se confunde con frecuencia con las obstrucciones de extensión: las obstrucciones de levantamiento se ocupan de producir un preimagen de un mapa bajo una proyección, mientras que las obstrucciones de extensión se ocupan de ampliar o pegar un objeto en un dominio mayor; las dos nociones se solapan pero abordan direcciones de pegado distintas.

Síntesis

La obstrucción al levantamiento es el invariante algebraico u homotópico que codifica si levantamientos locales o parciales compatibles pueden ensamblarse en un levantamiento global a lo largo de una sobreyección dada; su anulación garantiza existencia, su no anulación explica el fallo.