El principio que afirma que para cualquier familia de conjuntos no vacíos existe una función elección que selecciona un elemento de cada conjunto; abreviado AC, se adopta como un axioma independiente de la teoría de conjuntos ZF.

Principio

Dada una familia indexada {X_i}_{i∈I} de conjuntos no vacíos, existe una función f con dominio I tal que f(i)∈X_i para todo i; este principio de selección permite construcciones y pruebas de existencia que en general son no constructivas.

Demostración

Usando AC se demuestra que todo espacio vectorial tiene una base: de la familia de todos los subconjuntos linealmente independientes no vacíos se elige un conjunto independiente maximal mediante el lema de Zorn (equivalente a AC), que sirve como base.

Aplicación incorrecta

Suponer que AC proporciona elecciones canónicas o explícitas en contextos constructivos, o usar AC para justificar construcciones numerables cuando bastan formas más débiles (como la elección numerable); invocar AC en contextos donde su independencia cambia propiedades (por ejemplo la existencia de conjuntos no medibles).

Consecuencia

AC es equivalente a muchas afirmaciones clave (el lema de Zorn, el teorema del buen orden) e implica resultados de existencia potentes en álgebra, topología y análisis (bases de Hamel, teorema de Tychonoff en su forma completa), a la vez que permite objetos patológicos como conjuntos no medibles.

Inversión

Rechazar AC (trabajar en ZF) preserva regularidad constructiva y medida-teórica a costa de perder ciertos resultados de existencia; muchos teoremas se debilitan o son indemostrables sin algún principio de elección.

Límite

Se aplica a familias arbitrarias de conjuntos en la teoría clásica de conjuntos; existen formas restringidas (elección numerable, elección dependiente, elección para familias de cierta cardinalidad) que son estrictamente más débiles que AC completo en fuerza de consistencia.

Tensión semántica

Tensión con la matemática constructiva y computable, que niega las existencias no constructivas sin reglas explícitas; también tensión con la regularidad medida-teórica ya que AC puede producir conjuntos no medibles, por lo que algunos analistas prefieren axiomas de elección restringidos.

Síntesis

El axioma de elección es el principio global de selección que garantiza una función elección para cualquier familia de conjuntos no vacíos; es a la vez extremadamente útil y a veces controvertido porque habilita pruebas de existencia amplias a la vez que permite fenómenos no constructivos y patológicos.