Un retículo es un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) en el que cada par de elementos x, y tiene una mayor cota inferior (meet, denotado x ∧ y) y una menor cota superior (join, denotado x ∨ y). Las operaciones meet y join son asociativas, conmutativas, idempotentes y satisfacen las leyes de absorción.

Principio

Proporcionar un marco algebraico para la combinación binaria de información de orden garantizando supremo e ínfimo para pares; equivalente a presentarlo como un álgebra con dos operaciones idempotentes, conmutativas y asociativas unidas por la absorción.

Demostración

El conjunto de partes P(S) de cualquier conjunto S, ordenado por inclusión, es un retículo: el meet es la intersección, el join es la unión, y todo par de subconjuntos tiene intersección y unión. Otro ejemplo es el retículo de divisibilidad de enteros positivos con mcd como meet y mcm como join.

Aplicación incorrecta

Suponer que un retículo es un orden total (cadena) o que meet y join coinciden con operaciones aritméticas puede inducir a error; por ejemplo, tratar el retículo de subespacios como si intersección y suma se comportaran siempre como mínimo y máximo ignora la dimensión.

Consecuencia

Tener meet y join para cada par permite manipulaciones algebraicas de información de orden, teoremas de punto fijo basados en retículos y descomposiciones estructurales usadas en lógica, topología y álgebra (álgebras booleanas, retículos modulares, sistemas de clausura).

Inversión

Eliminar el requisito de que cada par tenga ambas cotas da lugar a nociones más débiles: semirretículos de meet (solo ínfimos) o de join (solo supremos); exigir totalidad produce cadenas.

Límite

Los retículos exigen meet y join binarios para todas las parejas; no tienen por qué ser distributivos, modulares o complementados a menos que se especifique. La completitud (existencia de sup/inf para todas las subfamilias) es una propiedad más fuerte no garantizada por los axiomas de retículo.

Tensión semántica

Distinguir retículos de posets generales y de retículos completos: un retículo asegura cotas binarias, mientras que un poset puede carecer de ellas, y la completitud suele confundirse con la mera condición de ser retículo.

Síntesis

Un retículo es la estructura ordenada en la que cualquier par de elementos admite meet y join, ofreciendo dos operaciones algebraicas duales que capturan ínfimos y supremos y sustentan numerosas aplicaciones en teoría del orden y álgebra.