Una aplicación continua biyectiva entre espacios topológicos cuya inversa también es continua; es la noción de isomorfismo en la categoría de espacios topológicos e identifica espacios que son topológicamente iguales.

Principio

Equivalencia que preserva la topología: un homeomorfismo preserva abiertos, convergencia, continuidad, compacidad, conexidad y todos los invariantes topológicos, por lo que las propiedades expresables en lenguaje topológico son invariantes bajo homeomorfismo.

Demostración

La aplicación f: (0,1) → R dada por f(x) = tan(π(x−1/2)) es un homeomorfismo entre el intervalo abierto y la recta real; asimismo e^x es un homeomorfismo de R a (0,∞), mostrando ejemplos sencillos de espacios homeomorfos.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier biyección entre conjuntos subyacentes como homeomorfismo o asumir que una biyección continua tiene necesariamente inversa continua sin comprobar hipótesis como compacidad/Hausdorff; la cardinalidad o un isomorfismo algebraico no implican homeomorfismo.

Consecuencia

Cuando dos espacios son homeomorfos son indistinguibles mediante invariantes topológicos y pueden sustituirse entre sí en argumentos puramente topológicos; la clasificación hasta homeomorfismo es un objetivo central en topología.

Inversión

La inversa de un homeomorfismo es a su vez un homeomorfismo; en contraste con equivalencias más débiles (por ejemplo, equivalencia por homotopía o biyección continua sin inversa continua) que no implican homeomorfismo.

Límite

Se aplica solo a la equivalencia topológica; nociones más fuertes (difeomorfismo, isometría, homeomorfismo PL) requieren estructuras suaves, métricas o piezawise-lineales adicionales y son clases de equivalencia estrictamente más restringidas.

Tensión semántica

A menudo se confunde con difeomorfismo o isometría en contextos geométricos; el homeomorfismo atiende únicamente a la topología y puede ignorar la estructura geométrica o suave que las nociones más fuertes preservan.

Síntesis

Un homeomorfismo es una aplicación biyectiva y continua con inversa continua que identifica dos espacios en términos puramente topológicos, preservando todas las propiedades topológicas mientras permite diferencias geométricas o suaves.