Técnica topológica que extiende un homeomorfismo o una isotopía de la esfera S^{n−1} que fija un hemisferio (o cuyo comportamiento en el borde está controlado) a un homeomorfismo o isotopía de la bola B^n mediante contracción radial: los puntos del interior se desplazan radialmente en proporción a su distancia al centro mientras que el movimiento en la frontera viene dado por la aplicación sobre la esfera.

Principio

Extensión radial: usar la coordenada radial para interpolar entre la identidad en el centro y el homeomorfismo prescrito en la frontera, obteniendo una extensión continua (con frecuencia isotópica) de los datos en la esfera a toda la bola.

Demostración

En dimensión dos, un homeomorfismo del círculo que es la identidad en un arco se puede extender al disco enviando cada radio sobre sí mismo y aplicando el homeomorfismo circular en el extremo exterior escalado por el radio; de modo análogo, una isotopía del círculo que fija un arco se extiende a una isotopía del disco por la misma escala radial.

Aplicación incorrecta

Esperar que el truco preserve la clase de diferenciabilidad (una extensión radial continua puede no ser suave aun cuando la aplicación de la frontera lo sea), o intentar extender aplicaciones que no fijan (o no están controladas en) un hemisferio sin verificar la condición de borde necesaria. Aplicarlo en dominios no estrellados o con incrustaciones 'salvajes' falla.

Consecuencia

Proporciona pruebas elementales de resultados de extensión e isotopía para bolas, demuestra propiedades de contractibilidad de ciertos grupos de homeomorfismos relativos a un hemisferio y proporciona isotopías ambientales explícitas útiles en topología de baja dimensión y para controlar el comportamiento en la frontera de aplicaciones.

Inversión

Si la aplicación de la frontera se cambia arbitrariamente (no se fija un hemisferio o el comportamiento radial no es compatible), una extensión radial ingenua puede romper la continuidad o la inyectividad; a su vez, fijar el interior en lugar de la frontera conduce a problemas de extensión distintos que no resuelve este truco.

Límite

Se aplica a mapas de la esfera estándar S^{n−1} y la bola estándar B^n usando la coordenada radial; suele requerir que el mapa de la frontera sea continuo (homeomorfismo) y que fije un hemisferio (o sea isotópico a la identidad por mapas que fijan un hemisferio) cuando se usa la versión isotópica. No se aplica directamente a variedades arbitrarias sin estructura radial ni a clases de diferenciabilidad sin argumentos de suavizado adicionales.

Tensión semántica

A menudo se compara con el teorema general de extensión de isotopías o con el teorema de collar; el Truco de Alexander es una construcción radial explícita y elemental válida para bolas y esferas, mientras que esos teoremas son más generales y pueden exigir hipótesis más fuertes.

Síntesis

El Truco de Alexander es el método de contracción radial para promover homeomorfismos o isotopías esféricas controladas a la bola: interpolar linealmente a lo largo de radios entre la identidad en el centro y el movimiento dado en la frontera, obteniendo una extensión explícita útil en construcciones topológicas.