En un espacio topológico normal, toda función continua real definida sobre un subconjunto cerrado se extiende a una función continua real definida en todo el espacio; las funciones acotadas se extienden manteniendo las mismas cotas.

Principio

La normalidad permite construir extensiones por pasos aproximando la función dada con funciones separadoras y combinándolas para obtener una extensión continua global que preserve la acotación.

Demostración

Para X = R y A = [0,1], una f continua A → [−1,1] puede extenderse a g : R → [−1,1] construyendo funciones de Urysohn para conjuntos de nivel y sumando trozos escalados apropiadamente hasta obtener una extensión continua que coincida con f en A.

Aplicación incorrecta

Suponer que el teorema vale cuando el subconjunto no es cerrado o en espacios no normales; intentar extender funciones discontinuas o ignorar la preservación de cotas cuando ésta es relevante.

Consecuencia

Proporciona un fuerte control sobre C(X) y la capacidad de construir funciones continuas con comportamiento local prescrito; es fundamental en análisis funcional y apoya resultados de inmersión y aproximación para espacios normales.

Inversión

A la inversa, si toda función continua sobre todo cerrado de X se extiende a X, entonces X cumple las propiedades de separación que definen la normalidad; la propiedad de extensión caracteriza así la normalidad bajo hipótesis T1 habituales.

Límite

Requiere que el subconjunto sea cerrado y que el espacio ambiente sea normal; el teorema trata funciones reales (o complejas por componentes) y preservación de cotas, y no garantiza extensiones lineales o isométricas más allá de esto.

Tensión semántica

Hay tensión entre las extensiones tipo Tietze, de carácter topológico, y teoremas de extensión más restrictivos (por ejemplo, extensiones lineales que preservan normas en espacios de Banach): Tietze no asegura linealidad ni isometría.

Síntesis

El Teorema de Extensión de Tietze afirma que la normalidad permite prolongar cualquier función continua real definida en un cerrado a todo el espacio sin perder continuidad ni acotación, haciendo de la extensión una propiedad estructural de los espacios normales.