Un axioma de separación: un espacio topológico X es normal si cualesquiera dos subconjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades abiertas disjuntas.

Principio

Los conjuntos cerrados pueden separarse por vecindades abiertas; esta separación fuerte permite teoremas de extensión y aproximación y da control sobre funciones continuas.

Demostración

Todo espacio métrico es normal: dadas dos cerradas disjuntas en R se construyen intervalos abiertos disjuntos o se usan funciones distancia para obtener abiertos separadores y funciones continuas que separan.

Aplicación incorrecta

Suponer que la normalidad es hereditaria a subespacios arbitrarios o que se preserva por productos arbitrarios es un error: los subespacios pueden dejar de ser normales y productos infinitos de normales pueden no ser normales.

Consecuencia

Bajo la convención habitual de que la normalidad incluye T1 (a veces llamada T4), la normalidad implica separación tipo Urysohn y el teorema de extensión de Tietze para funciones continuas reales sobre cerrados.

Inversión

Un espacio no normal contiene dos cerradas disjuntas que no se pueden separar por abiertos disjuntos; tal fallo obstruye la extensión de funciones continuas y argumentos finos de separación.

Límite

La normalidad es una condición global de separación para cerrados en espacios topológicos. Las convenciones varían respecto a si T1 se incluye en la definición; es distinta de axiomas más débiles como regularidad o regularidad completa.

Tensión semántica

La normalidad se confunde a menudo con la regularidad o la regularidad completa; la tensión reside en si se exige separación para punto y cerrado (regular) o para dos cerrados (normal) y en la presencia de hipótesis T1/Hausdorff.

Síntesis

La normalidad afirma que cerrados disjuntos admiten abiertos disjuntos, proporcionando un nivel global de separabilidad que respalda teoremas de extensión y la construcción de particiones continuas de la unidad bajo hipótesis apropiadas.