La construcción que añade un único punto nuevo ∞ a un espacio no compacto X y equipa X ∪ {∞} con la topología cuyos abiertos son los abiertos de X junto con los conjuntos cuyo complemento en X es compacto; para X localmente compacto y Hausdorff esto produce un espacio compacto Hausdorff en el que X se embebe como subespacio abierto y denso.

Principio

Hacer que los vecindarios del nuevo punto sean complementos de subconjuntos compactos de X, produciendo la topología más pequeña que compactifica X mediante un solo punto y preserva los abiertos originales y la continuidad de la inclusión.

Demostración

La compactificación de un punto de R es homeomorfa a S^1: se añade ∞ y se declaran vecindarios de ∞ los complementos de compactos de R, de modo que sucesiones que se escapan a ±∞ convergen a ∞, obteniendo un espacio compacto.

Aplicación incorrecta

Aplicar la construcción a espacios que no son localmente compactos esperando una compactificación Hausdorff; el espacio resultante puede dejar de ser Hausdorff o perder las propiedades de separación deseadas.

Consecuencia

Cuando procede (X no compacto, localmente compacto y Hausdorff), la construcción proporciona una compactificación mínima al añadir un solo punto y ofrece un espacio compacto útil para extender funciones continuas que se anulan en el infinito.

Inversión

Quitar el punto añadido y su regla de vecindarios restaura la no compacidad; alternativamente, intentar compactificar añadiendo muchos puntos o cambiando la definición de vecindarios produce otras compactificaciones (a menudo más grandes).

Límite

Se destina principalmente a espacios no compactos y produce una compactificación Hausdorff exactamente cuando X es localmente compacto y Hausdorff; excluye construcciones que requieran universalidad o la extensión única de todas las aplicaciones continuas (a diferencia de Stone‑Čech).

Tensión semántica

Existe tensión entre la compactificación de un punto y las compactificaciones universales: el método de un punto es económico pero no universal — puede no extender todas las aplicaciones continuas a objetivos compactos arbitrarios — mientras que Stone‑Čech lo es pero es mucho mayor.

Síntesis

La compactificación de un punto añade un punto cuyos vecindarios son los complementos de compactos de X para convertir el escape al infinito en convergencia a un punto; para espacios localmente compactos Hausdorff esto produce un espacio compacto Hausdorff que contiene a X como subespacio abierto y denso y ofrece una compactificación sencilla.