El espacio de Sierpiński es el espacio topológico de dos puntos S = {0,1} con conjuntos abiertos ∅, S y {1} (o equivalentemente con exactamente un singleton abierto no trivial); es el menor ejemplo no trivial T0 y un ejemplo básico en topología e informática teórica.

Principio

Sirve como clasificador de abiertos: las aplicaciones continuas X → S corresponden a subconjuntos abiertos de X mediante la imagen inversa del singleton abierto distinguido; S codifica la 'veracidad' de la apertura y presenta separación mínima (T0 pero no T1).

Demostración

Para cualquier espacio X y abierto U ⊆ X la aplicación característica χ_U: X → S que envía puntos de U a 1 y otros a 0 es continua; así S representa indicadores de abiertos en muchos argumentos categóricos.

Aplicación incorrecta

Confundir S con el espacio discreto de dos puntos o con un espacio T1 de dos puntos conduce a conclusiones erróneas sobre separación y continuidad; muchas construcciones usan que el singleton asimétrico es abierto pero no cerrado.

Consecuencia

Reconocer S correctamente aclara construcciones de semánticas topológicas, proporciona contraejemplos sencillos (p. ej. para T1 o Hausdorff) y ofrece un codominio mínimo no trivial para funciones indicadoras continuas de abiertos.

Inversión

El reverso es el espacio discreto de dos puntos, donde ambos singletons son abiertos (y cerrados); a diferencia de S, el espacio discreto es T1 y Hausdorff, perdiendo la asimetría mínima característica de S.

Límite

Espacio topológico finito y específico; su comportamiento está completamente determinado por el singleton abierto elegido y no representa fenómenos de mayor cardinalidad aunque aparece naturalmente en argumentos categóricos.

Tensión semántica

Existe tensión entre S como clasificador minimal de abiertos y otros espacios de dos puntos (discreto, indiscreto): la propiedad clave es el único abierto no trivial, que distingue a S de ejemplos simétricos de dos puntos.

Síntesis

El espacio de Sierpiński es el espacio asimétrico de dos puntos cuyo único singleton abierto no trivial lo convierte en el ejemplo canónico minimal T0 y en el clasificador natural de abiertos mediante aplicaciones características continuas.