El conjunto derivado A' de un subconjunto A de un espacio topológico X es el conjunto de todos los puntos de acumulación de A: puntos p tales que todo vecindario de p encuentra A en algún punto distinto de p. La operación puede iterarse transfinitamente (derivada de Cantor–Bendixson).

Principio

Aísla la porción de la conjunto formada por puntos de acumulación eliminando los puntos aislados; la derivación sucesiva estratifica un conjunto por su rango de Cantor–Bendixson y separa partes perfectas de las dispersas.

Demostración

En R con la topología estándar, el derivado de {1/n : n ∈ N} ∪ {0} es {0}; el derivado de Z es vacío; aplicar la derivada transfinitamente a un cerrado produce su núcleo perfecto.

Aplicación incorrecta

Confundir el conjunto derivado con el cierre conduce a errores: un punto derivado no tiene por qué pertenecer al conjunto original, y cl(A) = A ∪ A', por lo que igualar A' con cl(A) es incorrecto.

Consecuencia

Usado correctamente proporciona la descomposición de Cantor–Bendixson de conjuntos cerrados en un perfecto y un resto disperso contable y asigna rangos ordinales que miden la complejidad de las acumulaciones.

Inversión

La noción inversa es el conjunto de puntos aislados (A \ A'), el complemento dentro de A de sus puntos derivados; repetir esta inversión pone de manifiesto las partes discretas en lugar de la estructura límite.

Límite

Válido en cualquier espacio topológico, pero su comportamiento depende de axiomas de separación y de la compacidad local; en topologías groseras muchos conjuntos tendrán derivado vacío, mientras que en espacios perfectos A' = A para cerrados no vacíos.

Tensión semántica

Compite con conceptos de cierre y frontera: el cierre añade puntos límite y originales, la frontera compara intersección con el complementario; el derivado captura exclusivamente el comportamiento de acumulación, no la pertenencia ni la separación.

Síntesis

El conjunto derivado es el operador que extrae los puntos de acumulación de A; su iteración revela la arquitectura estratificada de puntos límite y sustenta descomposiciones en partes perfectas y dispersas.