Una colección B de subconjuntos abiertos de un espacio topológico X tal que todo abierto de X es una unión de elementos de B, y para todo x∈X y B1,B2 en B con x∈B1∩B2 existe B3 en B con x∈B3⊆B1∩B2; B se llama base de la topología.

Principio

Dos reglas definitorias: (1) cobertura — las uniones de elementos de la base producen todos los abiertos; (2) propiedad de intersección local — las intersecciones finitas de elementos de la base alrededor de un punto contienen otro elemento de la base, asegurando coherencia local de la topología generada.

Demostración

Ejemplo estándar: en R con la topología usual, el conjunto de todos los intervalos abiertos (a,b) forma una base porque todo abierto es una unión de dichos intervalos y la intersección de dos intervalos alrededor de un punto contiene un intervalo más pequeño.

Aplicación incorrecta

Llamar 'base' a cualquier colección que genere una topología sin comprobar la propiedad de intersección, o confundir una base topológica con una base de espacio vectorial (independencia lineal y span), lo que conduce a argumentos categorialmente erróneos.

Consecuencia

Tener una base simplifica la construcción y verificación de topologías, continuidad y convergencia: para comprobar continuidad basta verificar las imágenes inversas de los elementos de la base, y las bases proporcionan descripciones locales explícitas útiles en construcciones de producto y subespacio.

Inversión

Dada una topología τ se puede invertir la construcción: la topología determina muchas bases posibles (por ejemplo, el conjunto de todos los abiertos es en sí una base); a la inversa, a partir de una base se construye la topología única que genera.

Límite

Se aplica específicamente a espacios topológicos y colecciones de abiertos; una base debe consistir en abiertos para la topología prevista y satisfacer las dos reglas — las colecciones que no cumplen la propiedad de intersección no son bases aunque puedan generar una topología como subbase.

Tensión semántica

Existe tensión con 'bases de vecindad' y 'bases algebraicas': una base de vecindad en un punto es una noción local (puede no generar toda la topología), mientras que una base algebraica no está relacionada; también difiere de una 'subbase', que genera una base mediante intersecciones finitas.

Síntesis

Una base topológica es una familia generadora de abiertos coherente localmente cuyas uniones producen todos los abiertos y cuyas intersecciones locales alrededor de puntos siguen siendo representables dentro de la familia, proporcionando una descripción local y eficaz de una topología.