La igualdad que relaciona la suma de una función muestreada en una red del espacio euclídeo con la suma de su transformada de Fourier muestreada en la red dual; expresada habitualmente para funciones en R^n como sum_{m in Z^n} f(m) = sum_{k in Z^n} 36f(k), estableciendo un puente entre sumas discretas y análisis armónico.

Principio

Una función y su transformada de Fourier proporcionan descripciones duales de la misma información en las redes espacial y frecuencial; sumar sobre una red equivale a sumar la transformada sobre la red dual cuando las condiciones analíticas y de decaimiento permiten intercambiar sumación y transformada.

Demostración

Para la gaussiana f(x)=e^{-pi x^2} en R, la suma de f sobre Z da la transformacif3n theta clásica: sum_{n in Z} e^{-pi n^2 t} = t^{-1/2} sum_{m in Z} e^{-pi m^2 / t}, una aplicación directa de la identidad de Poisson tras calcular la transformada de Fourier de la gaussiana.

Aplicación incorrecta

Aplicar la ff3rmula a funciones que no cumplen las condiciones de suavidad o decaimiento requeridas (por ejemplo funciones no temperadas o con sumas de red divergentes) sin una interpretacif3n en el sentido de distribuciones conduce a igualdades falsas o manipulaciones ilegítimas de series.

Consecuencia

Cuando es válida, la ff3rmula convierte sumas de redes en sumas espectrales, permitiendo continuacif3n analedtica, transformaciones de tipo modular y la evaluacif3n de sumas aritméticas (por ejemplo en sumas exponenciales, funciones theta y conteo de puntos de una red).

Inversión

Visto de forma dual, intercambiar los papeles de la red primal y la red dual enfatiza la dualidad tiempo-frecuencia: la informacif3n codificada en muestras puntuales se transmite igualmente en las muestras de frecuencia; la inversión señala que no es solo un truco unidireccional.

Límite

Se cumple para funciones de Schwartz en R^n y se extiende a distribuciones temperadas y a funciones test perif3dicas o de soporte adecuado bajo hipf3tesis adicionales; no se aplica sin regularizacif3n a funciones arbitrarias discontinuas o de decaimiento lento.

Tensión semántica

Compite con las expansiones de Euler–Maclaurin que tambie9n relacionan sumas e integrales de manera asintótica; Poisson proporciona una identidad exacta bajo condiciones analíticas, mientras que Euler–Maclaurin ofrece correcciones asintóticas.

Síntesis

La ff3rmula de suma de Poisson es la identidad precisa que equipara las sumas en una red de una función con las sumas de su transformada de Fourier; formaliza la dualidad tiempo-frecuencia y es una herramienta central para transformar problemas aritméticos discretos en problemas espectrales.