Procedimiento para encontrar un entero x tal que a·x ≡ 1 (mod m) cuando tal x existe; equivale a hallar el inverso multiplicativo de a módulo m, normalmente mediante el algoritmo euclídeo extendido si gcd(a,m)=1.

Principio

Como a tiene inverso módulo m exactamente cuando gcd(a,m)=1, se calcula el gcd(a,m) y los coeficientes de Bézout; el coeficiente correspondiente a a, reducido módulo m, da el inverso.

Demostración

Encontrar el inverso de 3 módulo 11. Dado gcd(3,11)=1 y 3·4 = 12 ≡ 1 (mod 11), el inverso es 4. El algoritmo euclídeo extendido también produce el coeficiente 4 como solución de Bézout para 3 y 11.

Aplicación incorrecta

Intentar calcular un inverso cuando gcd(a,m) ≠ 1 (por ejemplo el inverso de 6 módulo 9), o usar aritmética en coma flotante que borre la información de divisibilidad exacta.

Consecuencia

Un inverso modular correcto permite la división en aritmética modular, resolver congruencias lineales y soportar operaciones criptográficas como creación y verificación de firmas.

Inversión

La inversión considera los casos sin inverso: cuando gcd(a,m) > 1 puede haber múltiples soluciones para a·x ≡ b o ninguna solución única, por lo que no procede la inversión estándar.

Límite

Definido sólo en anillos donde pueden existir inversos multiplicativos; en Z/mZ un inverso existe si y sólo si a es coprimo con m. En anillos no conmutativos los inversos izquierdo y derecho pueden diferir.

Tensión semántica

Cercano al concepto de inverso multiplicativo en un campo; la tensión surge porque Z/mZ es campo solo si m es primo, de modo que el 'inverso modular' en módulos compuestos requiere la condición de coprimalidad y no es automático.

Síntesis

La inversión modular combina la comprobación del gcd y la extracción de coeficientes de Bézout para obtener un entero que actúa como inverso multiplicativo de a módulo m siempre que los números sean coprimos.