Definición
El estudio de estructuras geométricas y aplicaciones que preservan ángulos (y formas infinitesimales) hasta un factor de escala local, incluyendo métricas conformes, transformaciones de Möbius e invariantes conformes como la clase conforme de una métrica y los tensores de curvatura conformes.
Principio
Principio
La geometría conforme organiza los objetos por sus propiedades de preservación de ángulos: la relación de equivalencia principal es la igualdad hasta multiplicación por escalares positivos punto a punto de la métrica, enfatizando datos sin escala y los invariantes bajo mapas conformes.
Demostración
Demostración
En una superficie de Riemann, las aplicaciones complejas analíticas son conformes; el teorema de uniformización ilustra la clasificación conforme mostrando que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conforme a la esfera, al plano o al disco.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir equivalencia conforme con isometría (preservación de la métrica) conduce a afirmaciones incorrectas sobre rigidez: dos métricas en la misma clase conforme no necesitan tener las mismas longitudes o volúmenes, solo los mismos ángulos.
Consecuencia
Consecuencia
Su uso correcto proporciona herramientas para resolver EDP invariantes ante escalado (p. ej., problema de Yamabe), para estudiar módulos conformes y para conectar datos locales de curvatura con la topología global mediante invariantes conformes.
Inversión
Inversión
La perspectiva invertida es la geometría que preserva la escala (isométrica), donde las distancias y volúmenes absolutos están fijados y la información solo de ángulos no basta para reconstruir la métrica.
Límite
Límite
Se centra en estructuras definidas hasta un reescalado puntual positivo de una métrica o en transformaciones locales que preservan ángulos; excluye problemas que requieren datos métricos absolutos, clasificación isométrica rígida o asignaciones de ángulos puramente combinatorias sin estructura suave.
Tensión semántica
Tensión semántica
Hay tensión con la geometría riemanniana y la proyectiva: la geometría conforme descarta la escala pero mantiene los ángulos, mientras la riemanniana conserva la métrica completa y la proyectiva preserva geodésicas pero no ángulos.
Síntesis
Síntesis
La geometría conforme aísla el núcleo que preserva ángulos de la geometría métrica: pasando a clases conformes y estudiando invariantes y EDP invariantes por escalado, relaciona la forma infinitesimal local con la estructura global sin atender al tamaño absoluto.