Rama de la geometría que estudia las propiedades invariantes bajo transformaciones afines (composiciones de aplicaciones lineales y traslaciones), con énfasis en el paralelismo, las proporciones de segmentos orientados en rectas paralelas, las relaciones baricéntricas y la colinealidad, excluyendo nociones métricas como ángulos y longitudes.

Principio

Organizar el razonamiento geométrico por la invariancia bajo el grupo afín: preservar la rectitud y el paralelismo, pero no las distancias ni los ángulos; considerar las figuras hasta cambios de coordenadas lineales no degenerados seguidos de traslación.

Demostración

En el plano afín sobre un cuerpo, los paralelogramos permanecen paralelogramos bajo cualquier aplicación afín, los puntos medios de segmentos con la misma dirección se mapean en puntos medios, y la razón en que una recta paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos lados se conserva; las coordenadas baricéntricas describen afínmente los puntos interiores de un triángulo.

Aplicación incorrecta

Usar argumentos euclidianos basados en ángulos o asumir que la ortogonalidad se preserva por aplicaciones afines arbitrarias; tratar círculos como invariantes conduce a errores porque los círculos suelen transformarse en elipses.

Consecuencia

Aplicada correctamente permite clasificar las cónicas hasta equivalencia afín, reducir muchos problemas planos a álgebra lineal en coordenadas y razonar sobre incidencia y división de segmentos sin introducir una métrica.

Inversión

Invertir hacia geometría métrica (euclidiana o riemanniana) donde los productos escalares y las distancias son primarios y el paralelismo no es el invariante central; o hacia geometría proyectiva donde el paralelismo se absorbe en puntos en el infinito.

Límite

Se aplica a espacios vectoriales o afines sobre cuerpos o anillos y a estructuras afines combinatorias; excluye cualquier argumento que requiera producto interno, longitudes, ángulos o curvatura, y excluye transformaciones no lineales en coordenadas.

Tensión semántica

Tensión con el término 'lineal': lo lineal suele asumir un origen mientras que lo afín permite traslaciones; también hay tensión frente a la geometría euclidiana donde predominan longitudes y ángulos.

Síntesis

La geometría afín estudia sin métrica la rectitud, el paralelismo y la división proporcional bajo el grupo afín: captura las relaciones estructurales que sobreviven a cambios no degenerados de coordenadas lineales y a traslaciones.