Una triangulación de un conjunto de puntos en el plano (o en dimensiones superiores) tal que ningún punto yace en el circuncírculo de ningún triángulo (propiedad de circuncírculo vacío); tiende a maximizar el ángulo mínimo de los triángulos y se usa ampliamente en mallado e interpolación.

Principio

El criterio de Delaunay impone condiciones locales de circuncírculo vacío que, satisfechas globalmente, producen una triangulación con cualidades de forma favorables; el complejo de Delaunay es dual al diagrama de Voronoi de las mismas semillas.

Demostración

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, construir el grafo planar cuyos triángulos cumplen que sus circuncírculos no contienen otros puntos de entrada; por ejemplo, realizar intercambios de aristas sobre una triangulación arbitraria hasta que todos los ángulos opuestos satisfagan la desigualdad de Delaunay produce la triangulación de Delaunay.

Aplicación incorrecta

Usar la triangulación de Delaunay en conjuntos de puntos mal condicionados sin tratar puntos cocirculares o casi cocirculares (por ejemplo ignorar la precisión numérica) puede crear caras ambiguas, elementos invertidos en mallas o artefactos en la interpolación.

Consecuencia

Una triangulación de Delaunay correcta genera mallas con ángulos mínimos acotados, buenas proporciones geométricas y garantiza que los circuncentros estén en celdas de Voronoi bien definidas, lo que beneficia a métodos de elementos finitos y consultas de vecinos más cercanos.

Inversión

La estructura dual, el diagrama de Voronoi, invierte la perspectiva asignando regiones a semillas en lugar de componer triángulos a partir de puntos; invertir resalta la partición por proximidad en lugar de la conectividad simpléctial.

Límite

Definida para conjuntos discretos de puntos en espacios euclídeos con generalización a dimensiones superiores como complejo de Delaunay; excluye variantes ponderadas (triangulaciones regulares), aristas forzadas y métricas no euclídeas salvo adaptación.

Tensión semántica

La triangulación de Delaunay compite con triangulaciones restringidas y técnicas de optimización de mallas: Delaunay optimiza criterios angulares bajo la regla de circuncírculo vacío, mientras que métodos restringidos priorizan fidelidad de frontera o calidad según una métrica sobre la optimalidad Delaunay pura.

Síntesis

La triangulación de Delaunay es el complejo simpléctial dual a la partición de Voronoi que impone la condición de circuncírculo vacío; produce triangulaciones con buenas propiedades locales de forma útiles para mallado, interpolación y cálculo geométrico.