Una locus recta unidimensional de puntos que se extiende infinitamente en ambas direcciones en la geometría euclidiana (afín), determinada de forma única por dos puntos distintos y realizada como un subespacio afín de dimensión 1 o una geodésica en geometría plana.

Principio

Las rectas codifican colinealidad y estructura lineal: son los subespacios afines más sencillos, preservadas por transformaciones afines, y actúan como geodésicas de curvatura cero en entornos euclidianos, proporcionando dirección y parametrizaciones unidimensionales.

Demostración

En el plano euclidiano R^2, la recta que pasa por p y q se parametriza como ℓ(t)=p + t(q−p) para t∈R; en geometría proyectiva la recta se extiende para incluir puntos en el infinito, mientras que en una esfera los grandes círculos juegan el papel análogo de geodésicas pero no son rectas afines.

Aplicación incorrecta

Llamar 'recta' a cualquier curva unidimensional (por ejemplo, una parábola o una geodésica arbitraria) confunde rectitud con unidimensionalidad; también es erróneo aplicar sin más la intuición euclidiana de la recta en variedades curvas (donde 'recta' significa geodésica).

Consecuencia

Reconocer rectas aporta nociones de pendiente, ordenada, envolventes lineales, conteos de dimensión y criterios de colinealidad; forman la columna vertebral de las construcciones afines y proyectivas y de la aproximación lineal en geometría y análisis.

Inversión

La inversión considera segmentos finitos o arcos como primarios en lugar de rectas infinitas, enfatizando la localidad: un segmento carece de la invariancia afín global de una recta completa y es central cuando las fronteras o la métrica importan.

Límite

Se aplica a entornos euclidianos y afines donde la rectitud está definida; es preciso distinguir geodésicas en espacios curvos, rectas proyectivas con puntos en el infinito y nociones discretas de 'recta' en geometría de incidencias que pueden diferir de las rectas analíticas.

Tensión semántica

Aparece tensión entre 'recta' como subespacio afín, 'geodésica' en una variedad y 'curva' en general; en distintos subcampos 'recta' puede llevar connotaciones métricas, afines o proyectivas que no son intercambiables sin calificación.

Síntesis

Una recta es el subespacio afín unidimensional prototipo definido por dos puntos y preservado por mapas afines: codifica dirección y colinealidad en geometría plana, se generaliza a geodésicas en entornos curvos y contrasta con segmentos locales y curvas no rectas en contextos geométricos más amplios.