Un punto en la frontera en el que un problema de valor de contorno prescrito (por ejemplo el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace) no alcanza el valor de frontera dado en el sentido clásico; los valores límite de las soluciones no coinciden con la condición de contorno en ese punto.

Principio

El logro de los datos de contorno por soluciones armónicas o elípticas depende de una condición local de capacidad o de barrera; los puntos que fallan el criterio (para Laplace, los que no cumplen el criterio de Wiener) son irregulares porque la influencia del dato de contorno es despreciable en la topología fina.

Demostración

En teoría del potencial, el criterio de Wiener proporciona una prueba en serie capacitaria: ciertos conjuntos «finos» cerca de un punto de la frontera hacen que el punto sea irregular para el problema de Dirichlet. Ejemplos concretos incluyen picos en la frontera o porciones fractales que impiden la consecución.

Aplicación incorrecta

Asumir que cualquier dato continuo en la frontera se alcanza puntualmente en todas partes para EDP elípticas; ello conduce a expectativas equivocadas sobre la convergencia puntal y las interpretaciones probabilísticas (p. ej. el impacto del movimiento browniano).

Consecuencia

Los puntos irregulares exigen el uso de conceptos de frontera generalizados (límite fino, límites no tangenciales, soluciones de Perron) y precaución en las representaciones probabilísticas; señalan dónde las condiciones clásicas no controlan el comportamiento interior.

Inversión

Un punto de frontera regular es aquel donde la solución de Dirichlet alcanza el valor continuo prescrito en la frontera; probabilísticamente, el movimiento browniano alcanza casi seguro el borde en vecindades arbitrariamente pequeñas de ese punto.

Límite

Se aplica a problemas de valor en la frontera para operadores elípticos y a la noción de logro puntual de datos; excluye singularidades topológicas sin relación con el logro de datos y condiciones de frontera alternativas como Neumann o Robin salvo que se indique.

Tensión semántica

Cercano a la noción geométrica de singularidad de esquina pero distinto: la irregularidad es una propiedad potencial-teórica sobre el logro de límites, mientras que la singularidad de esquina trata la diferenciabilidad y el comportamiento local de las soluciones.

Síntesis

Un punto de frontera irregular es un lugar donde falla el mecanismo habitual de propagación de datos de contorno al interior; caracterizar estos puntos mediante capacidad o pruebas probabilísticas aclara cuándo las condiciones de Dirichlet clásicas son insuficientes y qué nociones generalizadas deben emplearse.